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斯特瓦尔特定理

设已知△ABC及其底边上A、B两点间的一点P，则有

\[x^2=\frac{BC^2\cdot PA+AC^2\cdot BP}{AB}-PA\cdot PB \]

证明

\(\cos\angle BPC+\cos\angle APC=0\)

然后整理一下就得到了结论

角平分线

补充这个条件

\[\frac{\sin\ang BCP}{\sin \ang BPC}=\frac{PB}{BC}=\frac{PA}{AC}=\frac{\sin\ang PCA}{\sin \ang APC} \]

然后拿它和前面的斯特瓦尔特定理得到的式子联立，解出

\[x=\sqrt{ab[1-(\frac{c}{a+b})^2]}=\frac{2ab}{a+b}\cdot\cos(\frac{C}{2}) \]

中线

补充这个条件

\[PB=PA \]

然后拿它和前面的斯特瓦尔特定理得到的式子联立，解出

\[x=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \]

垂线

\[x=\frac{2S}{c} \]

其中\(S\)是三角形面积，\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\text{where}\ p=\frac{a+b+c}{2}\)