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电偶极子中垂线上某点电场强度
【题目描述】定义矢量 p e = q l p_e=ql pe=ql为电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷，电偶极矩 p e p_e pe是物理学、材料学和化学相关领域衡量电偶极子体系电分布特性的重要特征物理量.（1）试求电偶极子中垂线（以及延长线）上任一点的电场强度；
（1）【解】设 + q +q +q和 − q -q −q到电偶极子中垂线上任一点 P P P处的径矢分别为 r + r_+ r+和 r − r_- r−， P P P点到电偶极子中点的距离为 r r r，则 + q +q +q， − q -q −q在 P P P点处产生的场强 E + E_+ E+、 E − E_- E−分别为 E + = q r + 4 π ϵ 0 r + 3 ， E − = q r − 4 π ϵ 0 r − 3 E_+=\frac{qr_+}{4\pi\epsilon_0{r_+}^3}，E_-=\frac{qr_-}{4\pi\epsilon_0{r_-}^3} E+=4πϵ0r+3qr+，E−=4πϵ0r−3qr−当 P P P点距离电偶极子很远时，即当 r > > l r>>l r>>l时， r + = r − ≈ r r_+=r_-\approx r r+=r−≈r，该点合场强为 E = E + + E − = q 4 π ϵ 0 r 3 ( r + − r − ) E=E_++E_-=\frac{q}{4\pi\epsilon_0r^3}(r_+-r_-) E=E++E−=4πϵ0r3q(r+−r−)由于 r + − r − = − l r_+-r_-=-l r+−r−=−l，所以上式化为 E = − q l 4 π ϵ 0 r 3 E=\frac{-ql}{4\pi\epsilon_0r^3} E=4πϵ0r3−ql利用上述电偶极矩的定义，这一结果又可写成 E = − p e 4 π ϵ 0 r 3 E=\frac{-p_e}{4\pi\epsilon_0r^3} E=4πϵ0r3−pe
以上结果表明，电偶极子中垂线上距离电偶极子中心较远处各点的电场强度与电偶极子的电矩成正比，与该点离电偶极子中心距离的三次方成反比，方向与电偶极矩的方向相反。
依据场强叠加原理容易求得电偶极子延长线上距离电偶极子中点为 r r r的 Q Q Q点的电场强度为 E = 2 p e 4 π ϵ 0 r 3 E=\frac{2p_e}{4\pi\epsilon_0r^3} E=4πϵ0r32pe
（2）若将该电偶极子放入匀强电场 E 0 E_0 E0当中，试讨论该电偶极子与匀强电场的相互作用。
【解】如图所示，电偶极子在电场中受到电场力 F 1 F_1 F1和 F 2 F_2 F2的作用，这两个力大小相等，方向相反，因而电偶极子整体所受合力为零，电偶极子不会发生平动。但由于 F 1 F_1 F1和 F 2 F_2 F2不在同一直线上，电偶极子要受到力矩的作用，力矩大小为 M = F 1 l sin θ = q l E 0 sin θ = p e E 0 sin θ M=F_1l\sin{\theta}=qlE_0\sin{\theta}=p_eE_0\sin{\theta} M=F1lsinθ=qlE0sinθ=peE0sinθ写成矢量形式： M = p e × E 0 M=p_e\times E_0 M=pe×E0
带电棒外某点处电场强度
【题目描述】一根带电直棒，如果限于考虑离棒的距离比棒的截面尺寸大得多的地方的电场，则该带电直棒就可以看作一条带电直线。如图所示，一均匀带电直线，长为 L L L，电荷线密度为 λ ( λ > 0 ) \lambda(\lambda>0) λ(λ>0)，线外一点 P P P到直线的距离为 d d d， P P P点与直线两端的连线与带电直线之间的夹角分别为 θ 1 、 θ 2 \theta_1、\theta_2 θ1、θ2。试求 P P P点的场强。
【解】在带电直线上任取一长为 d l dl dl的电荷元，其电荷量 d q = λ d l dq=\lambda dl dq=λdl。选取坐标系如图所示。设电荷元 d q dq dq到 P P P点的距离为 r r r，电荷元 d q dq dq在 P P P点产生的场强为 d E dE dE，其大小为 d E = 1 4 π ϵ 0 λ d l r 2 dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda dl}{r^2} dE=4πϵ01r2λdl d E dE dE与 x x x轴的夹角为 θ \theta θ， d E dE dE沿两个轴方向的分量分别为 d E x dE_x dEx和 d E y dE_y dEy，有 d E x = d E cos θ ， d E y = d E sin θ dE_x=dE\cos{\theta}，dE_y=dE\sin{\theta} dEx=dEcosθ，dEy=dEsinθ由图中几何关系易知 l = d tan ( θ − π 2 ) = − d cot θ ， d l = d csc 2 θ d θ ， r 2 = d 2 + l 2 = d 2 c s c 2 θ l=d\tan(\theta-\frac{\pi}{2})=-d\cot{\theta}，dl=d{\csc^2{\theta}}d\theta，r^2=d^2+l^2=d^2csc^2\theta l=dtan(θ−2π)=−dcotθ，dl=dcsc2θdθ，r2=d2+l2=d2csc2θ统一积分变量并积分得 E x = ∫ d E x = ∫ θ 1 θ 2 λ 4 π ϵ 0 d cos θ d θ = λ 4 π ϵ 0 d ( sin θ 1 − sin θ 2 ) E_x=\int{dE_x}=\int_{\theta_1}^{\theta_2}{\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0d}}\cos\theta d\theta=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0d}(\sin\theta_1-\sin\theta_2) Ex=∫dEx=∫θ1θ24πϵ0dλcosθdθ=4πϵ0dλ(sinθ1−sinθ2) E y = ∫ d E y = ∫ θ 1 θ 2 λ 4 π ϵ 0 d sin θ d θ = λ 4 π ϵ 0 d ( cos θ 1 − cos θ 2 ) E_y=\int{dE_y}=\int_{\theta_1}^{\theta_2}{\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0d}}\sin\theta d\theta=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0d}(\cos\theta_1-\cos\theta_2) Ey=∫dEy=∫θ1θ24πϵ0dλsinθdθ=4πϵ0dλ(cosθ1−cosθ2)则有 E = λ 4 π ϵ 0 d ( sin θ 2 − sin θ 1 ) i + λ 4 π ϵ 0 d ( cos θ 2 − cos θ 1 ) j E=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0d}(\sin\theta_2-\sin\theta_1)i+\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0d}(\cos\theta_2-\cos\theta_1)j E=4πϵ0dλ(sinθ2−sinθ1)i+4πϵ0dλ(cosθ2−cosθ1)j将上述结果推广到无限长带电直导线时，有 θ 1 = 0 ， θ 2 = π \theta_1=0，\theta_2=\pi θ1=0，θ2=π，得到 E = λ 2 π ϵ 0 d j E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0d}j E=2πϵ0dλj由此可见，在一无限长带电直线周围任意点的场强 E E E与该点到带点直线的距离成反比，若 λ \lambda λ为正，则 E E E的方向垂直于带电直导线并指向无限远，若 λ \lambda λ为负，则 E E E的方向垂直于带电直导线并指向该直线。