【备考06组01号】第四届蓝桥杯JAVA组A组国赛题解

2022-02-26 05:22:02

1.填算式

（1）题目描述

请看下面的算式：

(ABCD - EFGH) * XY = 900

每个字母代表一个0~9的数字，不同字母代表不同数字，首位不能为0。

比如，(5012 - 4987) * 36 就是一个解。

请找到另一个解，并提交该解中 ABCD 所代表的整数。

请严格按照格式，通过浏览器提交答案。
注意：只提交 ABCD 所代表的整数，不要写其它附加内容，比如：说明性的文字。

（2）涉及知识点：dfs全排列+简单计算
（3）分析与解答：这道题目没什么难度，会全排列肯定能做出来，枚举所有的可能性，然后将三个数字分别表示出来，由于全排列的关系，所以无所谓那个数字做什么位，就按照顺序加就可以了。
（4）代码：

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    public class Main04JA01 {
    
        /**
         * @param args
         */
        public static int a[]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
        public static void main(String[] args) {
            // TODO Auto-generated method stub
            dfs(a,0);
        }
        public static void dfs(int a[],int k){
            if(k==10){
                if(check()){
                    System.out.print(a[0]*1000+a[1]*100+a[2]*10+a[3]);
                    System.out.println();
                }
            }else{
                for(int i=k;i<10;i++){
                    int temp=a[i];
                    a[i]=a[k];
                    a[k]=temp;
                    dfs(a,k+1);
                    temp=a[i];
                    a[i]=a[k];
                    a[k]=temp;
                }
            }
        }
        private static boolean check() {
            // TODO Auto-generated method stub
            int res1=a[0]*1000+a[1]*100+a[2]*10+a[3];
            int res2=a[4]*1000+a[5]*100+a[6]*10+a[7];
            int res3=a[8]*10+a[9];
            return ((res1-res2)*res3)==900&&a[0]!=0&&a[4]!=0&&a[8]!=0;
        }
    }

2.骰子迷题

（1）题目描述

小明参加了少年宫的一项趣味活动：每个小朋友发给一个空白的骰子（它的6个面是空白的，没有数字），要小朋友自己设计每个面写哪个数字。但有如下要求：

1. 每个面只能填写 0 至 8 中的某一个数字。

2. 不同面可以填写同样的数字，但6个面总和必须等于24。

填好后，小朋友可以用自己填写好数字的骰子向少年宫的两个机器人挑战----玩掷骰子游戏。规则如下：

三方同时掷出自己的骰子，如果出现任何相同的数字，则三方都不计分。

如果三方数字都不同，则最小数字一方扣 1 分，最大数字一方加 1 分。

小明看到了两个机器人手中的骰子分别是：

0 0 0 8 8 8

1 1 4 5 6 7

请你替小明算一下，他如何填写，才能使自己得分的概率最大。

请提交小明应该填写的6个数字，按升序排列，数字间用一个空格分开。

如果认为有多个答案，提交字母序最小的那个方案。

请严格按照格式，通过浏览器提交答案。
注意：只提交一行内容，含有6个被空格分开的数字。不要写其它附加内容，比如：说明性的文字。

（2）涉及知识点:dfs+概率运算

（3）分析与解答：这道题我在网上看到有剪枝，其实这道题没有必要，因为数据量很小，即使是六层循环枚举所有情况也非常小，所以直接搜索就可以了，6层循环我还没有试过，考场上没方法的时候不妨尝试一下，反正不会超时。这道题的思路是什么呢，其实很简单，首先枚举，然后只要符合条件的再把比两个机器人数字都大的情况比较出来最后再相乘就可以了，这里其实两个数字应该是要分别除以6的，但是因为不需要求最大的概率结果，所以不需要给自己增加难度。

（4）代码：

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 public class Main04JA02 {
    
        /**
         * @param args
         */
         static int a[]={0,0,0,8,8,8};
         static int b[]={1,1,4,5,6,7};
         static int c[]=new int[6];
         static int res[]=new int[6];
         static int max=0;
        public static void main(String[] args) {
            // TODO Auto-generated method stub
            dfs(0,0,0);
            for(int i=0;i<6;i++){
                System.out.print(res[i]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
        public static void dfs(int n,int cur,int sum){
            if(sum>24){
                return;
            }
            if(n==6){
                if(sum==24){
                    count();
                }
                return;
            }
            for(int i=cur;i<9;i++){
                c[n]=i;
                dfs(n+1,i,sum+i);
                c[n]=0;
            }
        }
        private static void count() {
            // TODO Auto-generated method stub
            int m=0;int x1=0;int x2=0;
            for(int i=0;i<6;i++){
                x1=x2=0;
                for(int j=0;j<6;j++){
                    if(c[i]>a[j]){
                        x1++;
                    }
                }
                for(int j=0;j<6;j++){
                    if(c[i]>b[j]){
                        x2++;
                    }
                }
                m+=x1*x2;
            }
            if(m>max){
                for(int i=0;i<6;i++){
                    res[i]=c[i];
                }
                max=m;
            }
        }
    }

3.埃及分数

（1）题目描述

古埃及曾经创造出灿烂的人类文明，他们的分数表示却很令人不解。古埃及喜欢把一个分数分解为类似： 1/a + 1/b 的格式。

这里，a 和 b 必须是不同的两个整数，分子必须为 1

比如，2/15 一共有 4 种不同的分解法（姑且称为埃及分解法）：

1/8 + 1/120
1/9 + 1/45
1/10 + 1/30
1/12 + 1/20


那么， 2/45 一共有多少个不同的埃及分解呢（满足加法交换律的算同种分解）？请直接提交该整数（千万不要提交详细的分解式！）。

请严格按照要求，通过浏览器提交答案。
注意：只提交分解的种类数，不要写其它附加内容，比如：说明性的文字

（2）涉及知识点：双精度运算+暴力枚举

（3）分析与解答：这道题乍看之下非常简单，但是国赛遇到这种题目千万长个心眼，后面可能暗藏着什么陷阱，其实你想想看也知道，国赛A组第三题，怎么可能出这种初学者都会做的题目，这道题目出得非常刁钻。刁钻在哪里，一开始我用的是（double）1/i+(double)1/j==(double)2/45，为了保险我还特地测了一下2/15的答案，结果2/15的答案还凑巧是对的，但是这道题目结果换成2/45就是错的，其实具体原因我也说不清楚，我唯一的理解就是double只有14位小数，运算算不到那么精准吧，当然我也不会误差排除，所以这里换个方法。怎么办呢？其实除是不精确的，但是乘法是一定精确的，所以在个人建议能用乘法尽量不要用除法，所以这里要做的是同分，转换成乘法45*j+45*i=2*i*j,其实这样double类型都不需要了，int型就可以了。

（4）代码：

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    public class Main04JA03 {
    
        private static int ans;
    
        /**
         * @param args
         */
        public static void main(String[] args) {
            // TODO Auto-generated method stub
            for(double i=1;i<=10000;i++){
                for(double j=i+1;j<=10000;j++){
                    if((double)45*j+45*i==(double)2*i*j){
                        System.out.println(i+" "+j);
                        ans++;
                    }
                }
            }
            System.out.println(ans);
        }
    
    }

4.约数倍数选卡片

（1）题目描述

闲暇时，福尔摩斯和华生玩一个游戏：

在N张卡片上写有N个整数。两人轮流拿走一张卡片。要求下一个人拿的数字一定是前一个人拿的数字的约数或倍数。例如，某次福尔摩斯拿走的卡片上写着数字“6”，则接下来华生可以拿的数字包括：

1，2，3, 6，12，18，24 ....

当轮到某一方拿卡片时，没有满足要求的卡片可选，则该方为输方。

请你利用计算机的优势计算一下，在已知所有卡片上的数字和可选哪些数字的条件下，怎样选择才能保证必胜！

当选多个数字都可以必胜时，输出其中最小的数字。如果无论如何都会输，则输出-1。


输入数据为2行。第一行是若干空格分开的整数（每个整数介于1~100间），表示当前剩余的所有卡片。
第二行也是若干空格分开的整数，表示可以选的数字。当然，第二行的数字必须完全包含在第一行的数字中。

程序则输出必胜的招法！！


例如：
用户输入：
2 3 6
3 6
则程序应该输出：
3

再如：
用户输入：
1 2 2 3 3 4 5
3 4 5
则程序应该输出：
4


资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 64M
CPU消耗 < 2000ms


请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.6及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。

（2）涉及知识点：博弈论+dfs

（3）分析与解答：博弈论的题目我不太会做，毕竟没系统学过，只能借人家的代码来讲讲思路了，这道题的博弈论思路大概是这样，我们回过头来看看输入，输入数据为2行。第一行是若干空格分开的整数（每个整数介于1~100间），表示当前剩余的所有卡片。第二行也是若干空格分开的整数，表示可以选的数字。当然，第二行的数字必须完全包含在第一行的数字中。程序则输出必胜的招法！！
那么上来没思路怎么办呢？确认知识点以后，没思路就从回到题目，一步步分析题目要我们干什么，很多参赛选手有个通病，就是往往会对题目想当然，所以题目中的细节会忽略掉，这次省赛就是很好的教训，我们可以看到题目中有一句话是当轮到某一方拿卡片时，没有满足要求的卡片可选，则该方为输方。而且又不是每种牌只有一张，所以可以很清楚地确认一定是用数组下标记录数量，第二行是后续的方案，要我们选择肯定能赢的方案，这里能够联想到什么呢？勇往直前全部试一遍最后看结果，是什么算法，那只有dfs。
抓住知识点以后，后面就要开始设计算法，dfs要想到并不难，难的是要去搜什么，我每次想到dfs但是都想不到去搜什么，这就很绝望了，所以要抓住题目的意思呀，国赛的时间应该是够的，四个小时，前三题一般花不了多少时间的，后面两三个小时做两题还是很足够的，所以冷静点思考，上机考考的不仅仅是解题能力，还有心理素质，最后一题如果可以的话暴力骗分就行了，这样国一肯定没问题了，当然啦大佬除外。扯远了哈，dfs要去搜什么呢，是不是搜一个肯定能赢的方案，那么哪里去找所有的方案呢，那么我们就创建一个链表数组，存储所有的方案就可以了，这里一定要注意放回去，不然的话不能列举所有的方案，最后再根据我拿的牌搜索所有的方案，直到所有的牌都拿完，这里就不用放回去了哈哈，不然玩到死都玩不完了。

（4）代码：

点击查看代码

    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Collections;
    import java.util.Scanner;
    
    public class Main04JA04 {
    
        /**
         * @param args
         */
        static int[]num=new int[105];
        static ArrayList<Integer>g[]=new ArrayList[105];
        static ArrayList<Integer>choice=new ArrayList<>();
        public static void main(String[] args) {
            // TODO Auto-generated method stub
            Scanner scan=new Scanner(System.in);
            String[]s1=scan.nextLine().split(" ");
            String[]s2=scan.nextLine().split(" ");
            for(int i=0;i<=100;i++){
                g[i]=new ArrayList<>();
            }
            for(String s:s1){
                if(!s.equals("")){
                    num[Integer.parseInt(s)]++;
                }
            }
            for(String s:s2){
                if(!s.equals("")){
                    choice.add(Integer.parseInt(s));
                }
            }
            for(int i=1;i<=100;i++){
                if(num[i]>0){
                    num[i]--;
                    for(int j=1;j<=100;j++){
                        if(num[j]>0&&(i%j==0||j%i==0)){
                            g[i].add(j);
                        }
                    }
                    num[i]++;
                }
            }
            
            int flag=-1;
            Collections.sort(choice);
            for(int x:choice){
                num[x]--;
                if(dfs(x)==1){
                    flag=x;
                    break;
                }
                num[x]++;
            }
            System.out.println(flag);
        }
        private static int dfs(int u) {
            // TODO Auto-generated method stub
            for(int i=g[u].size()-1;i>=0;i--){
                int v=g[u].get(i);
                if(num[v]>0){
                    num[v]--;
                    int win=dfs(v);
                    num[v]++;
                    if(win==1){
                        return -1;
                    }
                }
            }
            return 1;
        }
    
    }

5.网络寻路

（1）题目描述

X 国的一个网络使用若干条线路连接若干个节点。节点间的通信是双向的。某重要数据包，为了安全起见，必须恰好被转发两次到达目的地。该包可能在任意一个节点产生，我们需要知道该网络中一共有多少种不同的转发路径。

源地址和目标地址可以相同，但中间节点必须不同。

如图1所示的网络。

1 -> 2 -> 3 -> 1 是允许的

1 -> 2 -> 1-> 2 或者 1->2->3->2 都是非法的。

输入数据的第一行为两个整数N M，分别表示节点个数和连接线路的条数(1<=N<=10000; 0<=M<=100000)。
接下去有M行，每行为两个整数 u 和 v，表示节点u 和 v 联通(1<=u,v<=N , u!=v)。

输入数据保证任意两点最多只有一条边连接，并且没有自己连自己的边，即不存在重边和自环。


输出一个整数，表示满足要求的路径条数。

例如：
用户输入：
3 3
1 2
2 3
1 3
则程序应该输出：
6

（2）涉及知识点：无向图构建+dfs

（3）分析与解答：今年的题目是搜索专题吧，我估计是第四届出题还不熟练，总共6道题4道题考DFS，1道题考双精度运算，1道题考数论，可见DFS在蓝桥杯国赛中还是很重要的，所以必须要熟练掌握才行。这道题其实比上一道题思路简单，只要构建好无向图，对每个点搜索一下就行了，而且这道题目最简单的就是路线是固定死的，只能是两次，那么走三步就可以了，中间不能经过走过的点，也不能回到起点再来一次，那么用访问标记数组就行了，加上没有重边和自环还是很简单的。

（4）代码：

    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Scanner;
    
    public class Main04JA05 {
        static int n,m,ans=0;
        static ArrayList<Integer>[]g;
        static boolean[]vis;
        public static void main(String[] args) {
            // TODO Auto-generated method stub
            Scanner scan=new Scanner(System.in);
            n=scan.nextInt();
            m=scan.nextInt();
            g=new ArrayList[n+5];
            vis=new boolean[n+5];
            for(int i=0;i<=n;i++){
                g[i]=new ArrayList<>();
            }
            for(int i=1;i<=m;i++){
                int a=scan.nextInt();
                int b=scan.nextInt();
                g[a].add(b);
                g[b].add(a);
            }
            for(int i=1;i<=n;i++){
                dfs(i,-1,3);
            }
            System.out.println(ans);
            
        }
        private static void dfs(int u, int fa, int step) {
            // TODO Auto-generated method stub
            if(step==0){
                ans++;
                return;
            }
            for(int v:g[u]){
                if(!vis[v]&&v!=fa){
                    vis[v]=true;
                    dfs(v,u,step-1);
                    vis[v]=false;
                }
            }
        }
    
    }

6.公式求值

（1）题目描述

输入n, m, k，输出图1所示的公式的值。其中C_n^m是组合数，表示在n个人的集合中选出m个人组成一个集合的方案数。组合数的计算公式如图2所示。

输入的第一行包含一个整数n；第二行包含一个整数m，第三行包含一个整数k。

计算图1所示的公式的值，由于答案非常大，请输出这个值除以999101的余数。

【样例输入1】
3
1
3
【样例输出1】
162

【样例输入2】
20
10
10
【样例输出2】
359316

【数据规模与约定】
对于10%的数据，n≤10，k≤3；
对于20%的数据，n≤20，k≤3；
对于30%的数据，n≤1000，k≤5；
对于40%的数据，n≤10^7，k≤10；
对于60%的数据，n≤10^15，k ≤100；
对于70%的数据，n≤10^100，k≤200；
对于80%的数据，n≤10^500，k ≤500；
对于100%的数据，n在十进制下不超过1000位，即1≤n<10^1000，1≤k≤1000，同时0≤m≤n，k≤n。

【提示】
999101是一个质数；
当n位数比较多时，绝大多数情况下答案都是0，但评测的时候会选取一些答案不是0的数据；

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 128M
CPU消耗 < 2000ms


请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.6及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。

（2）涉及知识点：数论相关知识

（3）分析与解答：这道题我一时半会儿看不懂，毕竟数论没怎么学，附上大佬代码（90%的通过率）

https://blog.csdn.net/u010836847/article/details/21166725?utm_source=copy

（4）代码：

点击查看代码

   import java.math.BigInteger;
    import java.util.Scanner;
     
    public class Main04JA06 {
        /***
         * @author 林梵
         */
        public static BigInteger lucas(BigInteger n,BigInteger m,BigInteger p){
            if(m.equals(BigInteger.ZERO)) return BigInteger.ONE;
            return BigInteger.valueOf(f(n.mod(p).longValue(),m.mod(p).longValue())).multiply(lucas(n.divide(p),m.divide(p),p)).mod(p);
        }
     
        public static long f(long n,long m){
            if(m>n) return 1;
            if(n==m|| m==0) return 1;
            if(m>n-m) m=n-m;
            long tmpi=1,tmpn=1,s1=1,s2=1,ans=1;
            for (int i = 1; i<=m; i++) {
                tmpi=i;
                tmpn=n-i+1;
                s1=s1*tmpi%999101;
                s2=s2*tmpn%999101;
            }
            ans = s2*pow1(s1,999099)%999101;
            return ans%999101;
        }
        public static long pow1(long x,long n) {
            if(x==1) return 1;
            if (n==0)
                return 1;
            else {
                while ((n & 1)==0) {
                    n>>=1;
                    x=(x *x)%999101;
                }
            }
            long result = x%999101;
            n>>=1;
            while (n!=0) {
                x=(x *x)%999101;;
                if ((n & 1)!=0)
                    result =result*x%999101;
                n>>=1;
            }
            return  result;
        }
        public static void main(String[] args) {
            Scanner sc = new Scanner(System.in);
            BigInteger n = new BigInteger(sc.nextLine());
            BigInteger m = new BigInteger(sc.nextLine());
            int k = Integer.parseInt(sc.nextLine());
            long start = System.currentTimeMillis();
            BigInteger md = new BigInteger("999101");
            long Cnm=lucas(n, m,md).longValue()%999101;
            long sum = 0;
            if(Cnm!=0){
                int[][] a = new int[k][k];
                int h = 1;
                for (int i = 0; i < k; i++) {
                    for (int j = 0; j < k; j++) {
                        if (j >= h)
                            a[i][j] =0;
                        else {
                            if (j == 0 || j == h - 1)
                                a[i][j] = 1;
                            else {
                                a[i][j] = (a[i - 1][j - 1]*(h - j)+a[i - 1][j])%999101;
                            }
                        }
                    }
                    h++;
                }
                long m1 = 1,n1 =1;
                long x=n.subtract(new BigInteger(k+"")).mod(md.subtract(BigInteger.ONE)).longValue();
                long n3 = pow1(2,x);
                for (int i = k - 1; i >= 0; i--) {
                    n1=n3*pow1(2,i)%999101;
                    m1 = m1*(n.subtract(new BigInteger((k - 1 - i) + "")).mod(md).longValue())%999101;
                    sum = (sum+m1*a[k - 1][i]*n1)%999101;
                }
                sum = sum*Cnm%999101;
            }
            System.out.println(sum);
            long end = System.currentTimeMillis();
            System.out.println(end - start);
        }
     
    }

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