写在前

有好多原函数无法用初等函数表示的积分题，常年混迹于各种论坛和交流群。虽然看起来一副人畜无害可以解决的样子，但是不能解出来，若不幸遇到难免会浪费大量时间，下面做一些整理，再碰到这样的题目直接跳过。

常见坑爹积分整理

1. 菲涅尔积分（菲涅尔函数）

这类积分于物理学应用广泛，但不存在为初等函数的解，只能求近似解，具体形式如下：
∫ sin ⁡ x 2 d x , ∫ cos ⁡ x 2 d x \int \sin x^2 dx, \int \cos x^2 dx ∫sinx2dx,∫cosx2dx

2. 三 角 函 数 x n \frac{三角函数}{x^n} xn三角函数​型积分

形如： ∫ sin ⁡ x x n d x , ∫ cos ⁡ x x n d x , ∫ tan ⁡ x x n d x , n = 1 , 2 , 3... \int \frac{\sin x}{x^n} dx, \int \frac{\cos x}{x^n} dx,\int \frac{\tan x}{x^n}dx, n=1,2,3... ∫xnsinx​dx,∫xncosx​dx,∫xntanx​dx,n=1,2,3...
上面形式的都不能正常解出，尤其是当n=1时更为常见，如 ∫ sin ⁡ x x \int \frac{\sin x}{x} ∫xsinx​。

3. 椭圆积分

其几何背景是求椭圆上的某段弧长，通常不能用基本函数表示，形如：
∫ 1 − k 2 sin ⁡ 2 x d x , ∫ 1 − k 2 cos ⁡ 2 x d x , 其 中 0 < k 2 < 1 \int \sqrt{1-k^2\sin^2x}dx,\int \sqrt{1-k^2\cos^2x}dx ,其中0<k^2<1 ∫1−k2sin2x ​dx,∫1−k2cos2x ​dx,其中0<k2<1