1、证明命题11.2

证明：

（1）封闭性： 

（2）结合律：,有：

（3）单位元：易得单位元为1

（4）乘法逆元：

由费尔马小定理有



由封闭性得：

2、使用群论的方法证明定理11.1。

 证明：

构造一个映射：

有

即是一种群同态

使K=ker={1,p-1},有一标准同态

由第一同构定理得

 3、

 

即是一种同态

由定义易知，a为QR，则=1,a为QNR，则=-1

所以这是一个满射

所以这是一个群同态

4、设 p 是奇素数，请证明 Z∗p 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余。

5、证明命题11.4

 证明：

1、

当a是QR时，有,即b是QR，有

当a是QNR时，，b是QNR，

综上，证毕
2、

由命题十三有

a、b均为QR时，ab为QR，

a、b其中一个为QR、另一个为QNR时，ab为QNR,

a、b均为QNR时，ab为QR

综上，证毕

3、

易知=QR，有

 

 6、给出推论11.1的完整证明。

当,根据欧拉准则有：

当，根据欧拉准则有：