前言
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刚体飞行器的空间运动可分为两部分：质心运动和绕着质心的运动
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描述任意时刻的空间运动需要六个*度：三个质心运动和三个角运动
因此建立三维空间中飞机的运动需要两组12个方程来描述，每组6个方程，3个描述质心运动，3个描述角运动
坐标系的建立
常用坐标系
1.地面坐标系 S g — — O g x g y g z g S_g——O_gx_gy_gz_g Sg——Ogxgygzg
① 在地面上选一点 O g O_g Og
② 使 x g x_g xg轴在水平面内
③ z g z_g zg轴垂直于地面并指向地心
2.机体坐标系 S b — — O x y z S_b——Oxyz Sb——Oxyz
① 原点O取在飞机质心处，坐标系与飞机固连
② x轴在飞机对称平面内并飞行与飞机的设计轴线指向机头
③ y轴垂直于飞机对称平面指向机身右方
④ z轴在飞机对称平面内，与x轴垂直并指向机身下方
3.气流坐标系 S a — — O x a y a z a S_a——Ox_ay_az_a Sa——Oxayaza
① 原点O取在飞机质心处，坐标系与飞机固连
② x a x_a xa轴与飞行速度 V 重合一致
③ z a z_a za轴在飞机对称平面内与 x a x_a xa轴垂直并指向机腹下方
④ y a y_a ya轴垂直于O x a z a x_az_a xaza平面并指向机身右方
飞机运动参数
1.姿态角—— θ 、 ψ 、 φ \theta、\psi、\varphi θ、ψ、φ
① 俯仰角 θ \theta θ：机体轴x与水平面间夹角，抬头为正
② 偏航角 ψ \psi ψ：机体轴x在水平面上的投影与地轴 x g x_g xg间夹角，机头右偏航为正
③ 滚转角 φ \varphi φ：机体轴z与通过机体轴x的铅垂面间夹角，飞机向右滚转时为正
（符号正负符合右手定则，即右手握住旋转轴，旋转方向与四指方向相同即为正）
2.气流角—— α 、 β \alpha、\beta α、β
① 迎角 α \alpha α：飞行速度矢量 V 在飞机对称平面上的投影与机体轴x间夹角。V 的投影在机体轴x下面为正
② 侧滑角 β \beta β：飞机速度矢量 V 与飞机对称平面间夹角。V 的投影在飞机对称面右侧为正
3.机体坐标轴系的角速度分量—— p 、 q 、 r p、q、r p、q、r
机体坐标系相对于地面坐标系的转动角速度 ω \omega ω 在机体坐标系各轴上的分量
4.机体坐标轴的速度分量—— u 、 v 、 w u、v、w u、v、w
机体坐标轴系的飞行速度 V 在机体坐标系各轴上的分量
不同坐标系的转换
（注：由于目前的动力学和运动学建模分析只用到了地面坐标系和机体坐标系之间的转换，故只记录这一种，后续可能会继续添加）
地面坐标系与机体坐标系的转换
① 由地面坐标系
S
g
S_g
Sg 转动偏航角
ψ
\psi
ψ 到过渡坐标系
S
′
—
—
O
x
′
y
′
z
′
S'——Ox'y'z'
S′——Ox′y′z′ ，即
[
x
′
y
′
z
′
]
=
R
ψ
S
g
=
[
c
o
s
ψ
s
i
n
ψ
0
−
s
i
n
ψ
c
o
s
ψ
0
0
0
1
]
[
x
g
y
g
z
g
]
\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z'\\ \end{matrix} \right] =R_\psi S_g=\left[ \begin{matrix} cos\psi&sin\psi&0 \\ -sin\psi&cos\psi&0 \\ 0&0&1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_g \\ y_g \\ z_g\\ \end{matrix} \right]
⎣⎡x′y′z′⎦⎤=RψSg=⎣⎡cosψ−sinψ0sinψcosψ0001⎦⎤⎣⎡xgygzg⎦⎤
② 由过渡坐标系
S
′
S'
S′ 转动俯仰角
θ
\theta
θ 到过渡坐标系
S
′
′
—
—
O
x
′
′
y
′
′
z
′
′
S''——Ox''y''z''
S′′——Ox′′y′′z′′ ，即
[
x
′
′
y
′
′
z
′
′
]
=
R
θ
S
′
=
[
c
o
s
θ
0
−
s
i
n
θ
0
1
0
s
i
n
θ
0
c
o
s
θ
]
[
x
′
y
′
z
′
]
\left[ \begin{matrix} x'' \\ y'' \\ z''\\ \end{matrix} \right] = R_\theta S'=\left[ \begin{matrix} cos\theta&0&-sin\theta \\ 0&1&0 \\ sin\theta&0&cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z'\\ \end{matrix} \right]
⎣⎡x′′y′′z′′⎦⎤=RθS′=⎣⎡cosθ0sinθ010−sinθ0cosθ⎦⎤⎣⎡x′y′z′⎦⎤
③ 由过渡坐标系
S
′
′
S''
S′′ 转动滚转角
φ
\varphi
φ 到机体坐标系
S
b
S_b
Sb ，即
[
x
y
z
]
=
R
φ
S
′
′
=
[
1
0
0
0
c
o
s
φ
s
i
n
φ
0
−
s
i
n
φ
c
o
s
φ
]
[
x
′
′
y
′
′
z
′
′
]
\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z\\ \end{matrix} \right] = R_\varphi S''= \left[ \begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&cos\varphi&sin\varphi \\ 0&-sin\varphi&cos\varphi\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x'' \\ y'' \\ z''\\ \end{matrix} \right]
⎣⎡xyz⎦⎤=RφS′′=⎣⎡1000cosφ−sinφ0sinφcosφ⎦⎤⎣⎡x′′y′′z′′⎦⎤
④ 由地面坐标系
S
g
S_g
Sg 转换到机体坐标系
S
b
S_b
Sb 的转换矩阵为
S
φ
θ
ψ
=
R
φ
R
θ
R
ψ
S
g
=
[
c
o
s
θ
c
o
s
ψ
c
o
s
θ
s
i
n
ψ
−
s
i
n
θ
s
i
n
θ
c
o
s
ψ
s
i
n
φ
−
s
i
n
ψ
c
o
s
φ
s
i
n
θ
s
i
n
ψ
s
i
n
φ
+
c
o
s
ψ
c
o
s
φ
c
o
s
θ
s
i
n
φ
s
i
n
θ
c
o
s
ψ
c
o
s
φ
+
s
i
n
ψ
s
i
n
φ
s
i
n
θ
s
i
n
ψ
c
o
s
φ
−
c
o
s
ψ
s
i
n
φ
c
o
s
θ
c
o
s
φ
]
S_{\varphi\theta\psi}=R_\varphi R_\theta R_\psi S_g= \left[\begin{matrix}cos\theta cos\psi&cos\theta sin\psi & -sin\theta\\sin\theta cos\psi sin\varphi-sin\psi cos\varphi &sin\theta sin\psi sin\varphi +cos\psi cos\varphi &cos\theta sin\varphi \\ sin\theta cos\psi cos\varphi + sin\psi sin\varphi & sin\theta sin\psi cos\varphi - cos\psi sin\varphi & cos\theta cos\varphi \end{matrix}\right]
Sφθψ=RφRθRψSg=⎣⎡cosθcosψsinθcosψsinφ−sinψcosφsinθcosψcosφ+sinψsinφcosθsinψsinθsinψsinφ+cosψcosφsinθsinψcosφ−cosψsinφ−sinθcosθsinφcosθcosφ⎦⎤
因此，地面坐标系与机体坐标系之间的转换满足方程
X
b
o
d
y
=
S
φ
θ
ψ
X
e
a
r
t
h
X
e
a
r
t
h
=
S
φ
θ
ψ
T
X
b
o
d
y
X_{body}=S_{\varphi\theta\psi}X_{earth}\\ X_{earth}=S_{\varphi\theta\psi}^TX_{body}
Xbody=SφθψXearthXearth=SφθψTXbody
（注：旋转矩阵一定是正交阵，故其逆矩阵等于转置）