Tabular Method 表格法
还在为求积分头疼吗？
还在为分部积分公式记不清烦恼吗？
还在为求积公式用错而后悔不已吗？
来使用表格法吧，然你彻底摆脱分部积分！让你解题总快人一步！...
什么是表格法？
表格法是一种更加简洁，优美的，很大程度上可以取代分部积分法（Integration by Parts）的求解方法，定理如下：
\[\int f(x) g(x)dx =\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^jf^j(x) g^{-(j+1)}(x) + (-1)^n \int f^{n}(x)g^{-n}(x)dx \]亦即
\[ f g^{(-1)}-f^{(1)} g^{(-2)}+f^{(2)} g^{(-3)}-\cdots+(-1)^{n-1} f^{(n-1)} g^{(-n)}+(-1)^{n} \int f^{(n)} g^{(-n)} d x \]为了简洁起见，记
\[f^{(-n)}=\int \cdots \int_{\mathbf{D}} f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \mathrm{d} x_{1} \ldots \mathrm{d} x_{n} \]那么上式就可以列成这样的表格：
| 正负号 | D（积分） | I（导数） | 代表的积分 |
|---|---|---|---|
| + | \(f(x)\) | g(x) | \(\int f^(x)g(x)dx\) |
| - | \(f^{(1)}\) | \(g^{(-1)}\) | \(-1 \cdot \int f^{(1)}(x)g^{-1}(x)dx\) |
| + | \(f^{(2)}\) | \(g^{(-2)}\) | \(\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\) |
| - | \(f^{(3)}\) | \(g^{(-3)}\) | \(\int f^{(3)}(x)g^{(-3)}(x)dx\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \((-1)^{(n-1)}\) | \(f^{(n-1)}\) | \(g^{(-(n-1))}\) | \((-1)^{(n-1)} \int f^{n-1}(x)g^{-n+1}(x)dx\) |
| \((-1)^{(n)}\) | \(f^{(n)}\) | \(g^{(-n)}\) | \((-1)^n \int f^{n}(x)g^{-n}(x)dx\) |
看到这里，相信大家已经会了吧。那么今天就此结束，咱们下次见。
什么？要例子？这都说的多清楚了，要什么例子。
看不懂？好吧，那就给几个例子吧
表格法展开停止条件
遇到0
例题一：求解下面无穷积分：
\[\int_0^{\infty} x^2 e^{-x}dx \]解：根据表格法，可以其不定积分的表格如下：
| D | I | rep | |
|---|---|---|---|
| + | \(x^2\) | \(e^{-x}\) | \(\int x^2 e^{-x}dx\) |
| - | \(2x\) | \(-e^{-x}\) | \(\int 2x e^{-x}dx\) |
| + | \(2\) | \(e^{-x}\) | \(\int 2 e^{-x}dx\) |
| - | \(0\) | \(-e^{-x}\) | \(\int 0 dx\) |
遇到循环
例题二：求解下面不定积分：
\[\int e^x sin(x) dx \]解：根据表格法，可以该不定积分的表格如下：
| D | I | rep | |
|---|---|---|---|
| + | \(sin(x)\) | \(e^{x}\) | \(\int e^{x}sin(x)dx\) |
| - | \(cos(x)\) | \(e^{x}\) | \(\int e^{x}cos(x)dx\) |
| + | \(-sin(x)\) | \(e^{x}\) | \(-\int e^{x}sin(x)dx\) |
| - | \(-cos(x)\) | \(e^{x}\) | \(\int cos(x) e^x dx\) |
在上面的表格中，我们发现它可以无限往下面展开，但我们只需要看清楚第三次展开的结果，发现了吗？它就是原积分的相反数（这是特殊情况，一般只要呈现出倍数关：系就可以停止展开了），这时结束展开，可以得到:
\[\int e^x sin(x) dx=sin(x)e^x-cos(x)e^x-\int e^{x}sin(x)dx \]可以写成简单积分
例题三：求解下面不定积分：
\[\int x^4 lnx dx \]解：根据表格法，可以该不定积分的表格如下：
| D | I | rep | |
|---|---|---|---|
| + | \(x^4\) | \(lnx\) | \(\int x^4 lnx dx\) |
| - | \(4x^3\) | ? | ？ |
\(lnx\)的积分不会求怎么办？换个位不就行了\(lnx\)的导数总是简单了吧
| D | I | rep | |
|---|---|---|---|
| + | \(lnx\) | \(x^4\) | \(\int x^4 lnx dx\) |
| - | \(\frac{1}{x}\) | \(\frac{1}{5}x^5\) | \(\frac{1}{5}\int x^4dx\) |
| + | ---- | ----- | ----- |
当发现出现了贼简单的一个式子时，就不要在展开了，直接就出答案了
\[\therefore \int x^4 lnx dx = lnx\cdot \frac{1}{5}x^5- \frac{1}{5}\int x^4 dx \]讲到这里，你总该满意了吧，谢谢支持！某年某月，我们再见！
[1]:1988年的电影《为人师表 / Stand and Deliver》,里面有这个表格法的片段。“Tic, Tac, Toe, Simple!”