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一、数据调用与预处理
本文使用的数据为R语言自带数据集“iris”。iris数据集包含5个变量：
数值变量：Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length, Petal.Width,
分类变量：Species
以下简述掉用过程和数据处理步骤。
data（"iris"）# 运行后 Environment 中的 Data 就会出现iris数据集
#分类变量Species处理
iris$isSetosa <- ifelse(iris$Species == 'setosa',1,0)
iris$isVersicolor <- ifelse(iris$Species == 'versicolor',1,0)
二、一元线性回归分析
- 看散点图
看起来有正相关关系
plot(iris$Petal.Length~iris$Petal.Width)
- Petal 长与宽的一元线性回归
根据一元线性回归拟合结果，截距项（Intercept）和petal.width均通过t检验（估计参数的检验p值小于0.05，统计显著）。模型整体拟合优度（ R 2 R^2 R2）为0.93，拟合效果较好。
拟合结果： p e t a l . l e n g t h = 2.23 × p e t a l . w i d t h + 1.08 petal.length = 2.23 \times petal.width + 1.08 petal.length=2.23×petal.width+1.08
pw_pl = lm(Petal.Length~Petal.Width, data = iris)#fomular = y~x
summary(pw_pl)
看一下pw_pl什么样子（非必要）
- 诊断Petal.Width与Petal.Length的一元线性回归
从残差图中看，残差形态无明显违背高斯假定的迹象。
p.res = residuals(pw_pl)
p.fit <- predict(pw_pl)
plot(p.res~p.fit)
Shapiro的原假设是检测变量符合正态分布，对petal长宽拟合的残差项的Shapiro正态检验中，P值大于0.05，无证据拒绝原假设，残差项是正态分布，符合一元线性回归要求。
shapiro.test(p.res)#正态检验
三、多元线性回归分析
多元线性回归基本假定：
- 随机误差条件均值为零
- 随机误差同方差
- （时间序列）随机误差项无自相关
- 随机误差项与解释变量不相关
- 无多重共线性（解释变量之间）
- 随机误差条件分布为正态分布
（一）解释变量的多重共线性检测
- 算相关系数矩阵
iris_demo <- iris[,-5] #选取除了第5个变量（species）之外的其他变量
cor(iris_demo)
2. 求矩阵条件数（kappa值）
kappa(cor(iris_demo))
3. 求解相关系数矩阵的特征值与相应的特征根
eigen(cor(iris_demo))
（二）多元回归
1. 多元最小二乘回归
lm_iris <- lm(iris$Petal.Length~.,data = iris_demo)
summary(lm_iris)
2. 逐步回归
st_iris <- step(m_iris,derection = "both")
summary(st_iris)
（三）回归诊断
lm.res = residuals(lm_iris)
shapiro.test(lm.res)
st.res = residuals(st_iris)
shapiro.test(st.res)
四、模型评价-常用的准则统计量
- 计量体系中，ESS（Explained Sum Squares）表示可解释（回归）平方和，RSS（Residual Sum Squares）表示残差平方和
- 多元统计体系中，SSR（Sum of Squares Regression）为回归平方和，SSE（Sum of Squares Error）表示误差平方和
- 总结：SST = TSS，ESS = SSR，RSS = SSE
- T S S = E S S + R S S ; S S T = S S R + S S E TSS = ESS +RSS; SST= SSR + SSE TSS=ESS+RSS;SST=SSR+SSE
- E S S = S S R = Σ ( y ^ i − y ˉ i ) 2 ESS = SSR = \Sigma(\hat{y}_i - \bar{y}_i)^2 ESS=SSR=Σ(y^i−yˉi)2
- R S S = S S E = Σ ( y i − y ^ i ) 2 RSS = SSE = \Sigma(y_i - \hat{y}_i)^2 RSS=SSE=Σ(yi−y^i)2
- n 表示*度
- 拟合优度，越大越好
R 2 = E S S T S S R^2 = \frac{ESS}{TSS} R2=TSSESS - 调整的样本决定系数，越大越好
R ˉ 2 = 1 − ( 1 − R 2 ) n − 1 n − k − 1 \bar{R}^2 = 1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1} Rˉ2=1−(1−R2)n−k−1n−1 - 均方误差RMS，越小越好
R M S = R S S × 1 n − k − 1 RMS = RSS \times \frac{1}{n-k-1} RMS=RSS×n−k−11 - 赤池信息标准AIC，越小越好
A I C = e x p ( 2 ( k + 1 ) n ) R S S n AIC = exp(\frac{2(k+1)}{n})\frac{RSS}{n} AIC=exp(n2(k+1))nRSS - 施瓦茨信息标准SC，越小越好
S C = n k + 1 n R S S n SC = n^{\frac{k+1}{n}}\frac{RSS}{n} SC=nnk+1nRSS -
C
p
C_p
Cp标准，越小越好
C p = R S S q σ ^ u 2 − [ n − 2 ( q + 1 ) ] C_p = \frac{RSS_q}{\hat\sigma^2_u} - [ n-2(q+1)] Cp=σ^u2RSSq−[n−2(q+1)]
R S S q RSS_q RSSq：包含q个自变量的自己回归的残差平方和
σ ^ u 2 = R S S n − k − 1 \hat\sigma^2_u = \frac{RSS}{n-k-1} σ^u2=n−k−1RSS：包含所有k个自变量时的均方误差
n − 2 ( q + 1 ) n-2(q+1) n−2(q+1)：*度惩罚因子