单偶幻方的镶边法

前文《偶阶幻方的镶边法》，介绍由低阶幻方构建任意高价幻方。构造幻方时，由于涉及到构建的幻方有单偶、双偶之分，为了使规则的表述统一，必须要考虑避开G点，有点繁琐。为此，本文专门讨论构建单偶幻方，填写幻方时，无需考虑G点，直接根据规则填写，应该方便些。

把任一单偶幻方，降2阶，即成为双偶幻方。为此，把所求自然数分为三个数列：小数数列、中数数列和大数数列。取个数相等的小数数列和大数数列（简单计算容易得到），置外框；取中数数列双向跳跃填写中间的（n-2）×（n-2）方阵（也可按海尔法填写），马上得到中间方阵的双偶幻方。然后，按一定规则排列外框数字，则可方便地求得单偶幻方。

下面以10阶单偶幻方为例：

10阶幻方外框的格子数是（10—1）×4=36。容易求得，小数数列为1-18，中数数列为19-82，大数数列为83-100。把中数数列19-82，按双向跳跃填写在中间的方阵内（图一），使其满足幻方的要求。

外框的构建法——

如图，黄底数字或字母，确定外框的关键点，叫定位点。一共7个定位点，任何单偶幻方，都必须这样依此取定位点。其中，n就是所求阶数。按照图中的文字说明，并考虑到被对角线分为的四个区域，上下对顶格子数字关于x轴互补，左右对顶格子数字关于y轴互补，对角线对应格子数字关于中心点互补，就能便利地求得合乎要求的单偶幻方（图二）。

对于图中的这个3< N<n区间内的数字（N指要填的数字），写出来就一目了然了: 例如10阶幻方，区间3< N<10内的数字，就是4、5、6、7、8、9。其中，奇数为5、7、9，偶数为4、6、8。

由此，左下方填写区间内不含其中位数（7）的奇数5、9和偶数的中位数6；右上方填写区间内不含其中位数（6）的偶数4、8。这样，就能快速排列出小数数列的位置。

图一左下方有一句话——奇、偶数的个数一定是奇数个，存在中位数——的证明

证 明:
单偶幻方的阶数可以表示为
n=4k＋2 （k=1，2，…）
而所填数N的区间为 3＜N＜n
即 3＜N＜4k＋2
也即所填数是
4，5，…（4k+2）－1。
而该连续数列的个数是
｛ [（4k+2）－1]－4｝+1
=4k+2－1－4+1
=4k－2
=2（2k－1）
即 该数列的个数是偶数，
且 该数列是连续的，所以该数列
有一半偶数，一半奇数。
又 2（2k－1）÷2=2k－1，
即 该数列的一半，奇数或偶数的个数
一定是奇数。

所以该数列中的偶数或奇数都存在中位数（如果奇数和偶数各只有一个，则其本身也就是中位数，如6阶幻方的情形）。

图三是14阶幻方的镶边法构造图，供对照。