1、二叉树的定义
二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，每个节点至多有两棵子树，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
由定义可知，二叉树中不存在度（结点拥有的子树数目）大于2的节点。二叉树形状如下下图所示：
2、二叉树的性质
（1）在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1)。备注:^表示此方
（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点（k>=1)。
（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数目为n0，度为2的节点数目为n2，则n0=n2+1。
满二叉树：深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。
完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。
可以得到一般结论：满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树，满二叉树肯定是完全二叉树，但完全二叉树不不一定是满二叉树。
举例如下图是所示：
（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n + 1。
3、二叉树的存储结构
可以采用顺序存储数组和链式存储二叉链表两种方法来存储二叉树。经常使用的二叉链表方法，因为其非常灵活，方便二叉树的操作。二叉树的二叉链表存储结构如下所示：
1 typedef struct binary_tree_node
2 {
3 int elem;
4 struct binary_tree_node *left;
5 struct binary_tree_node *right;
6 }binary_tree_node,*binary_tree;
举例说明二叉链表存储过程，如下图所示：
从图中可以看出：在还有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域。
4、遍历二叉树
遍历二叉树是按照指定的路径方式访问书中每个结点一次，且仅访问一次。由二叉树的定义，我们知道二叉数是由根结点、左子树和右子树三部分构成的。通常遍历二叉树是从左向右进行，因此可以得到如下最基本的三种遍历方法：
（1）先根遍历（先序遍历）：如果二叉树为空，进行空操作；否则，先访问根节点，然后先根遍历左子树，最后先根遍历右子树。采用递归形式实现代码如下：
1 void preorder_traverse_recursive(binary_tree root)
2 {
3 if(NULL != root)
4 {
5 printf("%d\t",root->elem);
6 preorder_traverse_recursive(root->left);
7 preorder_traverse_recursive(root->right);
8 }
9 }
具体过程如下图所示：
（2）中根遍历（中序遍历）：如果二叉树为空，进行空操作；否则，先中根遍历左子树，然后访问根结点，最后中根遍历右子树。递归过程实现代码如下：
1 void inorder_traverse_recursive(binary_tree root)
2 {
3 if(NULL != root)
4 {
5 inorder_traverse_recursive(root->left);
6 printf("%d\t",root->elem);
7 inorder_traverse_recursive(root->right);
8 }
9 }
具体过程如下图所示：
（3）后根遍历（后序遍历）：如果二叉树为空，进行空操作；否则，先后根遍历左子树，然后后根遍历右子树，最后访问根结点。递归实现代码如下：
1 void postorder_traverse_recursive(binary_tree root)
2 {
3 if(NULL != root)
4 {
5 postorder_traverse_recursive(root->left);
6 postorder_traverse_recursive(root->right);
7 printf("%d\t",root->elem);
8 }
9 }
具体过程如下图所示：
用类和指针实现的二叉树：
#include<iostream>
using namespace std;
struct tree
{
int data;
tree *left,*right;
};
class Btree
{
static int n;
static int m;
public:
tree *root;
Btree()
{
root=NULL;
}
void create_Btree(int);
void Preorder(tree *); //先序遍历
void inorder(tree *); //中序遍历
void Postorder(tree *); //后序遍历
void display1() {Preorder(root); cout<<endl;}
void display2() {inorder(root);cout<<endl;}
void display3() {Postorder(root); cout<<endl;}
int count(tree *); //计算二叉树的个数
int findleaf(tree *); //求二叉树叶子的个数
int findnode(tree *); //求二叉树中度数为1的结点数量,这是当初考数据结构时候的最后一道题目
};
int Btree::n=0;
int Btree::m=0;
void Btree::create_Btree(int x)
{
tree *newnode=new tree;
newnode->data=x;
newnode->right=newnode->left=NULL;
if(root==NULL)
root=newnode;
else
{
tree *back;
tree *current=root;
while(current!=NULL)
{
back=current;
if(current->data>x)
current=current->left;
else
current=current->right;
}
if(back->data>x)
back->left=newnode;
else
back->right=newnode;
}
}
int Btree::count(tree *p)
{
if(p==NULL)
return 0;
else
return count(p->left)+count(p->right)+1; //这是运用了函数嵌套即递归的方法。
}
void Btree::Preorder(tree *temp) //这是先序遍历二叉树，采用了递归的方法。
{
if(temp!=NULL)
{
cout<<temp->data<<" ";
Preorder(temp->left);
Preorder(temp->right);
}
}
void Btree::inorder(tree *temp) //这是中序遍历二叉树，采用了递归的方法。
{
if(temp!=NULL)
{
inorder(temp->left);
cout<<temp->data<<" ";
inorder(temp->right);
}
}
void Btree::Postorder(tree *temp) //这是后序遍历二叉树，采用了递归的方法。
{
if(temp!=NULL)
{
Postorder(temp->left);
Postorder(temp->right);
cout<<temp->data<<" ";
}
}
int Btree::findleaf(tree *temp)
{
if(temp==NULL)return 0;
else
{
if(temp->left==NULL&&temp->right==NULL)return n+=1;
else
{
findleaf(temp->left);
findleaf(temp->right);
}
return n;
}
}
int Btree::findnode(tree *temp)
{
if(temp==NULL)return 0;
else
{
if(temp->left!=NULL&&temp->right!=NULL)
{
findnode(temp->left);
findnode(temp->right);
}
if(temp->left!=NULL&&temp->right==NULL)
{
m+=1;
findnode(temp->left);
}
if(temp->left==NULL&&temp->right!=NULL)
{
m+=1;
findnode(temp->right);
}
}
return m;
}
void main()
{
Btree A;
int array[]={100,4,2,3,15,35,6,45,55,20,1,14,56,57,58};
int k;
k=sizeof(array)/sizeof(array[0]);
cout<<"建立排序二叉树顺序: "<<endl;
for(int i=0;i<k;i++)
{
cout<<array[i]<<" ";
A.create_Btree(array[i]);
}
cout<<endl;
cout<<"二叉树节点个数： "<<A.count(A.root)<<endl;
cout<<"二叉树叶子个数："<<A.findleaf(A.root)<<endl;
cout<<"二叉树中度数为1的结点的数量为："<<A.findnode(A.root)<<endl;
cout<<endl<<"先序遍历序列: "<<endl;
A.display1();
cout<<endl<<"中序遍历序列: "<<endl;
A.display2();
cout<<endl<<"后序遍历序列: "<<endl;
A.display3();
}