这场比赛我只打了一个小时，赛时通过 \(\text{A,B,C}\)，排名 \(880\)（算上 Unofficial）。

A

略。

B

略。

C

显然让每个点的数都取它的边界是最优的，然后 dp 即可。

D

考虑点 \(1\) 的配对，设其与 \(x\) 构成一条线段。

设 \(f_i\) 为 \(2i\) 个点*配对的方案数。

• 若 \(x\le n\)：因为从 \(1\) 开始的线段不可能被其它线段覆盖，所以 \(1\sim 2n\) 一定铺满了长度为 \((x-1)\) 的线段。因为要恰好铺满，所以方案数为 \(\sigma_0(n)\)。
• 若 \(x>n\)：此时 \(x\sim 2n\) 这些点一定会与 \(1\sim (2n-x+1)\) 这些点对应地配对。因此还有 \(2(x-n-1)\) 个点可以随意配对，方案数即为 \(\sum_{i=1}^{n-1} f_i\)。

E

设 Soroush 的树是 \(S\)，Keshi 的树是 \(T\)。

首先，最大团中的点一定都在 \(S\) 中从 \(1\) 到某个叶子节点的路径上。并且可以发现，在路径确定时，最优的方案是优先选在 \(T\) 中深度较浅的点。

也就是说，我们要有一种算法，支持如下操作：

• 加入一个点；
• 删除一个点，且这个点被删除之前，其在 \(S\) 中的所有子孙都被删除了；
• 询问目前点集中最多能取出多少个点，使得它们在 \(T\) 中两两无祖先关系。

设操作三的点集是 \(P\)，那么对于操作一，设加入了点 \(u\)，假如 \(u\) 是 \(P\) 中某个点的祖先，那么在 \(P\) 中加入 \(u\) 显然不优；否则将 \(P\) 中 \(u\) 的祖先删除并加入 \(u\)。

如何查询 \(P\) 中是否有 \(u\) 的祖先？考虑预处理 \(T\) 的欧拉序，记为 \((st_u,ed_u)\)，并维护 \(P\) 中所有点的从小到大排序的 \(st\)。因为要查的是 \(u\) 的祖先（记为 \(x\)），所以一定有 \(st_x\le st_u\land ed_x\ge ed_u\)。找到 \(P\) 中最后一个满足 \(st_x\le st_u\) 的 \(x\)，可以证明，如果 \(P\) 中存在 \(u\) 的祖先，那么它一定是 \(x\)。

证明

假如 \(P\) 中存在某个点 \(v(v\neq x)\) 使得 \(v\) 是 \(u\) 的祖先，那么有 \(st_v<st_x\)。讨论 \(x\) 的两种可能：

• 如果 \(x\) 是 \(u\) 的祖先，那么显然得证；
• 如果 \(x\) 不是 \(u\) 的祖先，那么有 \(ed_x<ed_u\)。因为 \(v\) 是 \(u\) 的祖先，所以 \(st_v<st_x\land ed_v>ed_x\)，即 \(v\) 也是 \(x\) 的祖先，与 \(P\) 的定义矛盾。

查询 \(u\) 是否是 \(P\) 中某个点的祖先同理。

对于删除操作，每次添加操作修改的点个数是 \(O(1)\) 的，因此在 \(S\) 中每个点上记录修改即可。