树

什么叫做树？

树是一种重要的非线性数据结构，直观地看，它是数据元素（在树中称为结点）按分支关系组织起来的结构，很象自然界中的树那样。树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可用树形象表示。

树的特点

1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
2.除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3.树是递归定义的。

树形结构

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树的相关概念

 

1.结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6

2.树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6

3.叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

4.双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

5.孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

6.根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

7.结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

8.树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

1.非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点

2.兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

3.堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

4.结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

5.子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

6.森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
 

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 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

 

孩子兄弟表示法，从表面意思指的便是每个节点有两个域，分别表示自己的孩子和兄弟。孩子兄弟表示法，采用的是链式存储结构，其存储树的实现思想是：从树的根节点开始，依次用链表存储各个节点的孩子节点和兄弟节点。 

上图能清楚的了解孩子兄弟表示法的过程 

class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

代码的实现 

 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

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二叉树

什么是二叉树？

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1.一棵树如果是二叉树，那么他的所有节点都是二叉树

2.二叉树不存在度大于2的结点
3. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

 注意：二叉树并不都是由完整的根节点 左子树 右子树 组成 ，例如：

两种特殊的二叉树 

1.满二叉树

一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵
二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2.

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 

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二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

n0＝n2＋1

这个公式极其重要，二叉树的叶子节点比度为2的节点多一个

 推导过程：

1.假设一颗二叉树有N个节点，又因为任何一颗二叉树都是由 n0 n1 n2组成，即 N=n0+n1+n2 ①

2.对任何一棵树而言，如果有N个节点就会产生N-1条边 ②

3.n0：对于n0来说，不能产生任何一条边，即n0-> 0 ③

4.n1：对于n1来说，能向下产生1条边，即n0-> 1 * n1 ④

5.n2：对于n2来说，能向下产生两条边，即n0-> 2 * n2 ⑤

由②③④⑤得：N-1 = 0 + n1 + 2 * n2 ⑥

由①和⑥得： n0 + n1 + n2 = 1 + n1 + 2 * n2  --》n0 = n2 + n1

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下篇会介绍二叉树的三种遍历方式

未完待续。。。