https://www.luogu.com.cn/problem/CF103E
有一个大小为 \(n\) 的全集,每个元素是一个数,有 \(n\) 个子集。题目保证任意 \(k\) 个子集的并的大小 \(\ge k\)。
每个子集有一个可正可负的权值,你需要选出一些子集使得这些子集并的大小等于子集个数,且所选子集的权值和最小。可以为空集。
考虑权值取负,然后变成最大化权值
考虑建模使得 \(S\) 连到集合边权为权值,集合连到数边权无穷,数连到 \(T\) 边权 \(0\)
这样割掉 \(S\) 的边即为不选某个集合,割掉 \(T\) 的边就是选某个数
由于任意 \(k\) 个子集的并的大小 \(\ge k\),可得割掉的边的数量一定不小于 \(n\)
证明大概是,设左边割掉的集合为 \(L\),右边为 \(R\),则 \(\complement L\) 所连向的右边的点的集合只能是 \(R\)
则有 \(|\complement L|\le |R|\Rightarrow n-L\le R\Rightarrow n\le L+R\)
但是要求 不选的集合和选的数 的个数相等,则可以让 \(S\) 连的边变成无穷加权值,\(T\) 连的边变成无穷,这样不会再割多余的边,就有了 \(L+R=n\)
#define N 606
#define M 360006
struct Graph{
int fir[N],fir_[N],nex[M],to[M],tot;
long long w[M];
inline void add(int u,int v,long long W,int flag=1){
if(!tot) tot=1;
to[++tot]=v;w[tot]=W;
nex[tot]=fir[u];fir[u]=tot;
if(flag) add(v,u,0,0);
}
}G;
int S,T;
int deep[N];
int left,right,que[N];
inline int bfs(){
std::memset(deep,0,sizeof deep);
left=right=0;
que[0]=S;deep[S]=1;
int u;
while(left<=right){
u=que[left++];
for(int v,i=G.fir[u];i;i=G.nex[i]){
v=G.to[i];
if(deep[v]||!G.w[i]) continue;
deep[v]=deep[u]+1;que[++right]=v;
if(v==T) return 1;
}
}
return 0;
}
long long dfs(int u,long long now=1e18){
if(u==T) return now;
long long res=now;
for(int v,&i=G.fir_[u];i;i=G.nex[i]){
v=G.to[i];
if(deep[v]!=deep[u]+1||!G.w[i]) continue;
long long k=dfs(v,std::min(res,G.w[i]));
if(!k) deep[v]=0;
else G.w[i]-=k,G.w[i^1]+=k,res-=k;
if(!res) break;
}
return now-res;
}
inline long long dinic(){
long long ans=0;
while(bfs()){
long long now;
std::memcpy(G.fir_,G.fir,sizeof G.fir);
while(now=dfs(S)) ans+=now;
}
return ans;
}
int main(){
int n=read();
S=n+n+1;T=S+1;
for(int k,i=1;i<=n;i++){
k=read();
while(k--) G.add(i,n+read(),LL_INF);
G.add(n+i,T,LL_INF);
}
long long sum=0;
for(int k,i=1;i<=n;i++){
k=-read();sum+=k;
G.add(S,i,LL_INF+k);
}
long long ans=dinic()-n*LL_INF;
printf("%d\n",ans-sum);
return 0;
}