Nice Families Of GF

2023-11-02 10:01:04

Handbook的第61页开始，大概6，7页这样

做笔记，不然学了忘

这里讨论三个nice properties某些生成函数可能会具有的。

rational

algebraic

D-finite(also known as “differentially ﬁnite” or “holonomic”)

具有这样的性质的生成函数会有一些良性质

rational

满足这3个之一就可以叫做rational，这3点是等价的

c-recursive和P-recursive简单的区别就是递归方程的系数是不是常数

可以看到D-finite是三者中最弱的
rational=>algebraic=>D-finite 生成函数
逻辑关系类比上类似于

正方形=>矩形=>平行四边形凸四边形

Example	rational	algebraic	D-finite

$\frac{1}{1-2x}$	√	√	√
$\frac{x}{1-x-x^2}$	√	√	√
$\sqrt{1+x}$	×	√	√
$\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$	×	√	√
$e^x$	×	×	√
$log(1-x)$	×	×	√
$sin(x)$	×	×	√
$arctan(x) $	×	×	√
$\sqrt{1+log(1+x^2)}$	×	×	×
$sec(x)$	×	×	×
$tan(x)$	×	×	×

compositional inverse是说A(x)对于x为自变量的反函数

书用的是handbook of enumerative combinatorics
资料来源网络

Example	rational	algebraic	D-finite

\(\frac{1}{1-2x}\)	√	√	√
\(\frac{x}{1-x-x^2}\)	√	√	√
\(\sqrt{1+x}\)	×	√	√
\(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\)	×	√	√
\(e^x\)	×	×	√
\(log(1-x)\)	×	×	√
\(sin(x)\)	×	×	√
$arctan(x) $	×	×	√
\(\sqrt{1+log(1+x^2)}\)	×	×	×
\(sec(x)\)	×	×	×
\(tan(x)\)	×	×	×