Task01 函数极限与连续性

极限分为数列极限和函数极限，其中数列极限又由函数极限推广而来。

1. 数列极限：\(n \to \infty , f(n) = \frac{1}{n}, n=0,1,2,3,..., \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)

2. 函数极限：eg. \(f(x) = \frac{1}{n}\)

   • \(n \to \infty\):

     \[\lim_{x \to \infty}f(x)=0 \Leftrightarrow \\ \forall \epsilon>0, \exists M \ge a, s.t.当x>M时，有|f(x)-A|<\epsilon \]

   • \(n \to x_0\):

     \[\lim_{x \to x_0}f(x)=A \Leftrightarrow \\ \forall \epsilon>0, \exists \delta > 0, s.t.当0<|x-x_0|<\delta时,有|f(x)-A|<\epsilon \]

函数极限

性质

1. 唯一性：有极限，则极限为常数A，并且唯一，若有两个极限，两极限相等。
2. 局部有界性：函数在局部内有极限A，则在A的周围能够找到一个有界区间。
3. 局部保号性：函数在局部内有极限A，则在A的周围能够找到一个区间，函数符号与极限同号。
4. 局部保不等式性：\(f(x)\le g(x), x\in u^0(x_0, \delta) \Rightarrow \lim_{x \to x_0}f(x) \le \lim_{x \to x_0}g(x)\)
5. 迫敛性：夹逼准则：\(f(x)\le h(x)\le g(x), \lim f(x)=A,\lim g(x)=A \Rightarrow \lim h(x)=A\)
6. 左极限=右极限：函数在某点极限，从左边趋近（左极限）与从右边趋近（右极限）的极限是相等的。

tip：函数在某点的极限和函数在某点是否存在无关。

函数极限计算

• 等价无穷小（记公式）

• 洛必达法则（常用）

  适用于\(\frac{0}{0}\),或者\(\frac{\infty}{\infty}\)型，如果分子分母可导，则求其导。如果求得的导数是\(\frac{0}{0}\)或者\(\frac{\infty}{\infty}\)​​型，且依然可导，则继续求导。

• 泰勒公式（通用、复杂）

• 特殊函数的计算

  • 级数
  • 定积分

函数有界性

1. 若\(f(x)\)​在闭区间\([a,b]\)上连续，则\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上有界
2. 若\(f(x)\)​​在开区间\((a,b)\)​​上连续，且极限\(\lim_{x \to a^+}f(x)\)​​ 与 \(\lim_{x \to b^-}f(x)\)​​存在， 则\(f(x)\)​​在开区间\((a,b)\)​​上有界

无穷小

\[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \left \{ \begin{aligned} &0, &高阶无穷小\\ &c\neq 0, &同阶无穷小 \\ &\infty. &低阶无穷小\\ \end{aligned} \right. \]

当极限\(c=1\)时，两者为等价无穷小。

数列极限

• 定义

• 定理：如果数列\(\{a_n\}\)收敛，则其任何子列\(\{a_{n_{k}}\}\)也是收敛的，且\(\lim_{k \to \infty}a_{n_k} = \lim_{k \to \infty}a_{n}\)​，主要用来反证一个数列不收敛，若存在一个子列不收敛，则其主列一定不收敛。

性质

• 唯一性：如果数列存在极限，则极限是唯一的。
• 有界性：如果数列极限存在，则数列是有界的，不同于函数极限的局部有界性。
• 保号性：设数列存在极限\(a\)，且\(a > 0\)（ 或\(a < 0\)） ,则存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，有\(a>0\)​。

运算规则

设\(\lim_{n \to \infty}x_n = a\)，\(\lim_{n \to \infty}=b\)，则

1. \(\lim_{n \to \infty}(x_n \pm y_n)=a \pm b\)
2. \(\lim_{n \to \infty} x_ny_n = ab\)
3. 若\(b \ne 0,y_n\ne0\)​，则\(\lim _{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}\)​​

夹逼准则

\[\begin{aligned} &\text { 如果数列 }\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\} \text { 及 }\left\{z_{n}\right\} \text { 满足下列条件 }\\ &\text { (1) } y_{n} \leqslant x_{n} \leqslant z_{n}(n=1,2,3, \cdots) ; \text { (2) } \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=a \text {. }\\ &\text { 则数列 }\left\{x_{n}\right\} \text { 的极限存在, 且 } \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \text {. } \end{aligned} \]

单调有界准则

单调有界数列必有极限，即若数列\(\{x_n\}\)​单调增加（减少）且有上界（下界），则\(\lim_{n \to \infty} x_n\)​存在.

函数连续性

定义

函数在该点处的极限等于在该点处的函数值，则称函数在该点连续。

间断点的定义与分类

• 第一类间断点：左右极限存在，但函数在该点间断

1. 可去间断点：函数在该点的极限存在，但是不等于该点的函数值，甚至该点的函数值不存在。
2. 跳跃间断点：左右极限均存在，但左右极限不相等。

• 第二类间断点：找不到该点的极限，且函数在该点间断。

1. 无穷间断点：该点处极限无穷大。
2. 振荡间断点：如果函数极限不存在，则这类间断点称为振荡间断点。

作业

1. 小程序使用说明：https://mp.weixin.qq.com/s/iPmzb72Yk0mhIA2NYezXDg

2. 学习内容：bilibili视频，github

3. 作业内容：张宇数学（一） 1000题

   第一章 函数极限与连续

   强化训练
   题目：

   • （选择题）
     函数有界性：1；
     函数渐近线：2；
     无穷小量与无穷大量：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13；
     间断点：14、15、16；
   • （填空题）
     函数连续性：17；
     无穷小量与无穷大量：18、19、21、22；
     求极限：20、23、24、25；
   • （简答题）
     函数渐近线：26；
     求极限：27；
   • （计算题）
     求极限：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（11）、（12）、（13）、（14）、（16）
   • （简答题）
     无穷大量与无穷小量：29；
   • （计算题）
     无穷大量与无穷小量：（1）、（2）、（3）
     间断点、函数连续性：31、32、33、35；

   巩固提高
   题目：

   ​ 无穷大量与无穷小量：1、2；
   ​ 函数连续性、间断点：3、4、5；
   ​ 解答题（求极限）：7；
   ​ 计算极限：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）；
   ​ 渐近线问题：9、11；
   ​ 求极限（简答题）：10

4. 截止时间：8月19日凌晨03：00