给定一个长度为n的数组a，它有n(n+1)/2​​个子数组。请计算这些子数组的和，然后按照升序排列，并返回排序后第k个数。

1≤n≤10​^5
1≤a​i≤10^​9
1≤k≤​n(n+1)/2
在线评测地址：https://www.lintcode.com/problem/the-kth-subarray/?utm_source=sc-tc-sz0810)

Example1

Input:
[2,3,1,4]
6
Output:5
Explanation:
我们可以得到所有子数组的和是 [1,2,3,4,4(3 + 1), 5(1 + 4), 5(2 + 3), 6(2 + 3 + 1), 8(3 + 1 + 4), 10(2 + 3 + 1 + 4)]。其中第六个是5。
【题解】

算法

二分+two pointer

算法分析

我们可以看到，题目需要求和第k

k大的子区间，而我们的区间总个数共有n(n+1)/2个，当n为10^5​​时这个数高达10^10级别。我们显然不能暴力的枚举每一个区间和然后排序。

算法思路

我们注意到，所有数字的和不超过10^14，这个范围可以让我们想到使用二分最终的答案进行求解。

二分要求解的问题是：对于给定的和x，求有多少个区间的和小于x，小于等于x。这需要我们在O(n)的时间复杂度内进行求解。由于数组内所有数都是正数，我们自然的可以想到同向双指针求解。当当前区间的和大于k，就移动左指针，否则移动右指针。

时间复杂度

O(nlog(n))

public class Solution {

/**
 * @param a: an array
 * @param k: the kth
 * @return: return the kth subarray
 */
 
private int check(long x, int[] a, long k) {
    long tmp1 = 0, tmp2 = 0, now = a[0];
    int l = -1, r = 0, n = a.length;
    long all = (long)n * (n + 1) / 2;
    while (l <= r && r < n)
    {
        if (now >= x) {
            if (now == x) {
                tmp2++;
            } else {
                tmp1++;
            }
            tmp1 += n - r - 1;
            l++; now -= a[l];
        }
        else {r++; if (r < n) now += a[r];}
    }
    if (all - tmp1 - tmp2 < k && all - tmp1 >= k) return 0;
    if (all - tmp1 - tmp2 >= k) return 1;
    else return -1;
} 
public long thekthSubarray(int[] a, long k) {
    // wrrite your code here
    int n = a.length;
    long sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum += a[i];
    }
    long l = 1, r = sum;
    while (l <= r) {
        long mid = (l + r) / 2;
        int flag = check(mid, a, k);
        if (flag == 0) {
            return mid;
        }
        if (flag == 1) {
            r = mid - 1;
        }
        else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

}
更多题解参见：[九章算法官网]https://www.jiuzhang.com/solution/the-kth-subarray/?utm_source=sc-tc-sz0810
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