已知 f: G → G' 是一个同态映射，e' 是 G' 的单位元，Ker f = {a ∈ G | f(a) = e'}. 则 Ker f 是 G 的正规子群.

证明：由同态映射定义知 

f(a) = f(e·a) = f(e)·f(a)，f(a) = f(a·e) = f(a)·f(e)

即有

f(a) = f(e)·f(a) = f(a)·f(e)，即 f(e) = e'，e ∈ Ker f

对任意的 h₁ ∈ Ker f，h₂ ∈ Ker f，f(h₁·h₂) = f(h₁)·f(h₂) = e'·e' = e'，于是 h₁·h₂ ∈ Ker f

对任意的 a ∈ G，有

e' = f(e) = f(a·a^-1) = f(a)·f(a^-1)

e' = f(e) = f(a^-1·a) = f(a^-1)·f(a)

即有 f(a^-1) = (f(a))^-1 

对任意的 h ∈ Ker f，则有 f(h^-1) = (f(h))^-1 = (e')^-1 = e'，于是 h^-1 ∈ Ker f

综上，Ker f 是 G 的子群.

以下进一步证明 Ker f 是 G 的正规子群. 记 Ker f = H.

考虑任意的 a ∈ G，h ∈ H，a·h ∈ aH，h·a ∈ Ha

由 f(a^-1·h·a) = f(a^-1·h)·f(a) = f(a^-1)·f(h)·f(a) = (f(a))^-1·e'·f(a) = e'，有

a^-1·h·a ∈ H

于是 a·(a^-1·h·a) ∈ aH，即 a·(a^-1·h·a) = a·(a^-1·(h·a)) = a·a^-1·(h·a) = h·a ∈ aH

同样，由 f(a·h·a^-1) = f(a·h)·f(a^-1) = f(a)·f(h)·f(a^-1) = f(a)·e'·(f(a))^-1 = e'，有

a·h·a^-1 ∈ H

于是 (a·h·a^-1)·a ∈ Ha，即 (a·h·a^-1)·a = (a·h)·(a^-1·a) = a·h ∈ Ha

综上即有 aH = Ha，所以 H = Ker f 是 G 的正规子群.