By LongLuo

机器学习中需要训练大量数据，涉及大量复杂运算，例如卷积、矩阵等。这些复杂运算不仅多，而且每次计算的数据量很大，如果能针对这些运算进行优化，可以大幅提高性能。

一、矩阵乘法

假设$A$A为$m \times p$m×p的矩阵，$B$B为$p \times n$p×n的矩阵，那么称$m \times n$m×n的矩阵$C$C为矩阵$A$A与$B$B的乘积，记作$C = AB$C=AB，称为矩阵积（matrix product）。

其中矩阵$C$C中的第$i$i行第$j$j列元素可以表示为：

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p}{a_{ik}b_{kj}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdot\cdot\cdot + a_{ip}b_{pj}$(AB)ij​=k=1∑p​aik​bkj​=ai1​b1j​+ai2​b2j​+⋅⋅⋅+aip​bpj​

如下图所示：

假如在矩阵$A$A和矩阵$B$B中，$m = p = n = N $，那么完成$，那么完成C=AB$需要多少次乘法呢？

1. 对于每一个行向量$r$r ，总共有$N$N行；
2. 对于每一个列向量$c$c，总共有$N$N列；
3. 计算它们的内积，总共有$N$N次乘法计算。

综合可以看出，矩阵乘法的算法复杂度是：$\Theta(N^{3}) $。

二、Strassen算法

那么有没有比$\Theta(N^{3})$Θ(N3)更快的算法呢？

1969年，Volker Strassen提出了第一个算法时间复杂度低于$\Theta(N^{3})$Θ(N3)矩阵乘法算法，算法复杂度为$\Theta(n^{log_{2}^{7}}) = \Theta(n^{2.807})$Θ(nlog27​)=Θ(n2.807)。从下图可知，Strassen算法只有在对于维数比较大的矩阵 ($N > 300$N>300) ，性能上才有很大的优势，可以减少很多乘法计算。

Strassen算法证明了矩阵乘法存在时间复杂度低于$\Theta(N^{3})$Θ(N3)的算法的存在，后续学者不断研究发现新的更快的算法，截止目前时间复杂度最低的矩阵乘法算法是Coppersmith-Winograd方法的一种扩展方法，其算法复杂度为$\Theta(n^{2.375})$Θ(n2.375)。

三、Strassen原理详解

假设矩阵$A$A 和矩阵$B$B都是$N \times N (N = 2^{n})$N×N(N=2n)的方矩阵，求$C = AB$C=AB，如下所示：
$A = \left [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right ] ， B = \left [ \begin{matrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{matrix} \right ] ， C = \left [ \begin{matrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \\ \end{matrix} \right ]$A=[A11​A21​​A12​A22​​]，B=[B11​B21​​B12​B22​​]，C=[C11​C21​​C12​C22​​]
其中
$\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}$[C11​C21​​C12​C22​​]=[A11​A21​​A12​A22​​]⋅[B11​B21​​B12​B22​​]
矩阵 C 可以通过下列公式求出：
$C_{11} = A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21}\\ C_{12} = A_{11} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{21}\\ C_{21} = A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21}\\ C_{22} = A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22}$C11​=A11​⋅B11​+A12​⋅B21​C12​=A11​⋅B12​+A22​⋅B21​C21​=A21​⋅B11​+A22​⋅B21​C22​=A21​⋅B12​+A22​⋅B22​
从上述公式我们可以得出，计算2个$n * n$n∗n的矩阵相乘需要2个$\frac{n}{2} * \frac{n}{2}$2n​∗2n​的矩阵8次乘法和4次加法。我们使用$T(n)$T(n)表示$n*n$n∗n矩阵乘法的时间复杂度，那么我们可以根据上面的分解得到下面的递推公式：
$T(n) = 8 * T(\frac{n}{2}) + \Theta(n^{2})$T(n)=8∗T(2n​)+Θ(n2)
其中，

1. $8T(\frac{n}{2})$8T(2n​)表示8次矩阵乘法，而且相乘的矩阵规模降到了$\frac{n}{2}$2n​。
2. $\Theta(n^{2})$Θ(n2)表示4次矩阵加法的时间复杂度以及合并矩阵$C$C的时间复杂度。

最终可计算得到$T(n)=\Theta(n^{log_{2}^{8}})=\Theta(n^{3})$T(n)=Θ(nlog28​)=Θ(n3)。

可以看出每次递归操作都需要8次矩阵相乘，而这正是瓶颈的来源。相比加法，矩阵乘法是非常慢的，于是我们想到能不能减少矩阵相乘的次数呢？

答案是当然可以！！！

Strassen算法正是从这个角度出发，实现了降低算法复杂度！

Strassen实现步骤

实现步骤可以分为以下4步：

1. 按上述方法将矩阵$A,B,C$A,B,C分解（花费时间$\Theta(1) $。

2. 如下创建10个$\frac{n}{2} × \frac{n}{2}$2n​×2n​的矩阵$S_1, S_2, ..., S_{10}$S1​,S2​,...,S10​(花费时间 $\Theta(n^2) $。
   $S_1 = B_{12} - B_{22}\\ S_2 = A_{11} + A_{12}\\S_3 = A_{21} + A_{22}\\S_4 = B_{21} - B_{11}\\S_5 = A_{11} + A_{22}\\S_6 = B_{11} + B_{22}\\S_7 = A_{12} - A_{22}\\S_8 = B_{21} + B_{22}\\S_9 = A_{11} - A_{21}\\S_{10} = B_{11} + B_{12}$S1​=B12​−B22​S2​=A11​+A12​S3​=A21​+A22​S4​=B21​−B11​S5​=A11​+A22​S6​=B11​+B22​S7​=A12​−A22​S8​=B21​+B22​S9​=A11​−A21​S10​=B11​+B12​

3. 递归地计算7个矩阵积$P_1, P_2, ..., P_7$P1​,P2​,...,P7​，每个矩阵$P_i$Pi​都是 $\frac{n}{2} × \frac{n}{2}$2n​×2n​的。
   $P_1 = A_{11} \cdot S_1 = A_{11} \cdot B_{12} - A_{11} \cdot B_{22}\\P_2 = S_2 \cdot B_{22} = A_{11} \cdot B_{22} + A_{12} \cdot B_{22}\\P_3 = S_3 \cdot B_{11} = A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{11}\\P_4 = A_{22} \cdot S_4 = A_{22}\cdot B_{21} - A_{22} \cdot B_{11}\\P_5 = S_5 \cdot S_6 = A_{11} \cdot B_{11} + A_{11} \cdot B_{22} + A_{22} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{22}\\P_6 = S_7 \cdot S_8 = A_{12} \cdot B_{21} + A{12} \cdot B_{22} - A_{22} \cdot B_{21} - A_{22} \cdot B_{22}\\P_7 = S_9 \cdot S_{10}= A_{11} \cdot B_{11} + A_{11} \cdot B_{12} - A_{21} \cdot B_{11} - A_{21} \cdot B_{12}$P1​=A11​⋅S1​=A11​⋅B12​−A11​⋅B22​P2​=S2​⋅B22​=A11​⋅B22​+A12​⋅B22​P3​=S3​⋅B11​=A21​⋅B11​+A22​⋅B11​P4​=A22​⋅S4​=A22​⋅B21​−A22​⋅B11​P5​=S5​⋅S6​=A11​⋅B11​+A11​⋅B22​+A22​⋅B11​+A22​⋅B22​P6​=S7​⋅S8​=A12​⋅B21​+A12⋅B22​−A22​⋅B21​−A22​⋅B22​P7​=S9​⋅S10​=A11​⋅B11​+A11​⋅B12​−A21​⋅B11​−A21​⋅B12​
   注意，上述公式中只有中间一列需要计算。

4. 通过$P_i$Pi​计算$C_{11}, C_{12}, C_{21}, C_{22}$C11​,C12​,C21​,C22​，花费时间$\Theta(n^2)$Θ(n2)。
   $C_{11} = P_5 + P_4 - P_2 + P_6\\C_{12} = P_1 + P_2\\C_{21} = P_3 + P_4\\C_{22} = P_5 + P_1 - P_3 - P_7$C11​=P5​+P4​−P2​+P6​C12​=P1​+P2​C21​=P3​+P4​C22​=P5​+P1​−P3​−P7​
   综合可得如下递归式：
   $T(n) = \begin{cases}\Theta(1) & 若n = 1\\7T(\frac{n}{2}) + \Theta(n^2) & 若n >1 \end{cases}$T(n)={Θ(1)7T(2n​)+Θ(n2)​若n=1若n>1​
   进而求出时间复杂度为：$T(n) = \Theta(n^{log_{2}^{7}})$T(n)=Θ(nlog27​)

四、Strassen算法的代码实现

我们以MNN中关于Strassen算法源码实现来学习：https://github.com/alibaba/MNN/blob/master/source/backend/cpu/compute/StrassenMatmulComputor.cpp。

类StrassenMatrixComputor提供了3个API供调用：

API	说明
_generateTrivalMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT);	普通矩阵乘法计算
_generateMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth);	Strassen算法的矩阵乘法
_generateMatMulConstB(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth);	Strassen算法的矩阵乘法（和MatMul的区别在于内存Buffer是否允许复用)

我们以_generateMatMul为例来学习下Strassen算法如何实现，可以分成如下几步：

第一步：使用Strassen算法收益判断

在矩阵操作中，因为需要对矩阵的维数进行扩展，涉及大量读写操作，这些读写操作都需要大量循环，如果读写次数超出使用Strassen乘法的收益的话，就得不偿失了，那么就使用普通的矩阵乘法。

/* 
Compute the memory read / write cost for expand Matrix Mul need eSub*lSub*hSub*(1+1.0/CONVOLUTION_TILED_NUMBWR), Matrix Add/Sub need x*y*UNIT*3 (2 read 1 write) 
*/

float saveCost = (eSub * lSub * hSub) * (1.0f + 1.0f / CONVOLUTION_TILED_NUMBWR) - 4 * (eSub * lSub) * 3 - 7 * (eSub * hSub * 3); 
if (currentDepth >= mMaxDepth || e <= CONVOLUTION_TILED_NUMBWR || l % 2 != 0 || h % 2 != 0 || saveCost < 0.0f) 
{ 
    return _generateTrivialMatMul(AT, BT, CT); 
}

第二步：分块

将矩阵$A，B，C$3个矩阵都分成4块：

auto aStride = AT->stride(0); 
auto a11 = AT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub; 
auto a12 = AT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub; 
auto a21 = AT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub; 
auto a22 = AT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub; 
auto bStride = BT->stride(0); 
auto b11 = BT->host<float>() + 0 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub; 
auto b12 = BT->host<float>() + 0 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub; 
auto b21 = BT->host<float>() + 1 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub; 
auto b22 = BT->host<float>() + 1 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub; 
auto cStride = CT->stride(0); auto c11 = CT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub; 
auto c12 = CT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub; 
auto c21 = CT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub; 
auto c22 = CT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;

第三步：分治和递归

Strassen算法核心就是分治思想。这一步可以写成下列所示伪代码：

1. If n = 1 Output A × B 
2. Else 
3. Compute A11,B11, . . . ,A22,B22 % by computing m = n/2 
4. P1 Strassen(A11,B12 − B22) 
5. P2 Strassen(A11 + A12,B22) 
6. P3 Strassen(A21 + A22,B11) 
7. P4 Strassen(A22,B21 − B11) 
8. P5 Strassen(A11 + A22,B11 + B22) 
9. P6 Strassen(A12 − A22,B21 + B22) 
10. P7 Strassen(A11 − A21,B11 + B12) 
11. C11 P5 + P4 − P2 + P6 
12. C12 P1 + P2 
13. C21 P3 + P4 
14. C22 P1 + P5 − P3 − P7 
15. Output C 
16. End If

例如其中的一步代码如下所示：

{ 
    // S1=A21+A22, T1=B12-B11, P5=S1T1 
    auto f = [a22, a21, b11, b12, xAddr, yAddr, eSub, lSub, hSub, aStride, bStride]() { 
    MNNMatrixAdd(xAddr, a21, a22, eSub * aUnit / 4, eSub * aUnit, aStride, aStride, lSub); 
    MNNMatrixSub(yAddr, b12, b11, lSub * bUnit / 4, lSub * bUnit, bStride, bStride, hSub); 
}; 

    mFunctions.emplace_back(f); 
    auto code = _generateMatMul(X.get(), Y.get(), C22.get(), currentDepth); 
    if (code != NO_ERROR) 
    { 
        return code; 
    } 
}

递归执行，得到最终结果！