Let $V$ be an n-dimensional vector space and $S =\{v_1,...,v_n\}$, $T=\{w_1,\cdots,w_n\}$ its two bases. The transition matrix $P_{S\leftarrow T}$ from $T$ to S is $n\times n$ matrix which columns are coordinates of $w_j$ in basis $S: P_{S\leftarrow T} = [[w_1]_S [w_2]_S \cdots [w_n]_S]$.
Transition matrix 中文名：转移矩阵；转换矩阵；跃迁矩阵；状态转移矩阵
"过渡矩阵" 一词在许多不同的数学语境中被使用。
- 在线性代数中, 它有时被用来表示坐标矩阵的变化。
- 在马尔可夫链理论中, 它被用作随机矩阵的替代名称, 即描述过渡的矩阵。
- 在控制理论中, 状态转换矩阵是一个矩阵, 其乘积与初始状态向量在以后给出状态向量。
令 $S =\{v_1,...,v_n\}$, $T=\{w_1,\cdots,w_n\}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基 (base), 若 $T = SP_{S\leftarrow T}$, 则矩阵 $P_{S\leftarrow T}$ 被称为由基 $S$ 变换到 $T$ 的过渡矩阵.
由基的性质可知, $P_{S\leftarrow T}$ 是可逆的, 即有 $S = TP_{T\leftarrow S} = TP_{S\leftarrow T}^{-1}$
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转移概率矩阵：矩阵各元素都是非负的，并且各行元素之和等于 $1$，各元素用概率表示，在一定条件下是互相转移的，故称为转移概率矩阵。$P^{(k)}$ 表示 $k$ 步转移概率矩阵。
==转移概率矩阵的特征==
- $0 \leq P_{ij} \leq 1$
- $\displaystyle\sum^{n}_{j=1}P_{ij}=1$，即矩阵中每一行转移概率之和等于1。
由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率。
==什么是转移概率==
- 转移概率是马尔可夫链中的重要概念，若马氏链分为 $m$ 个状态组成，历史资料转化为由这 $m$ 个状态所组成的序列。从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态 $1, 2, \cdots, m$ 中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。
- 当样本中状态 $m$ 可能发生转移的总次数为 $i$，而由状态 $m$ 到未来任一时刻转为状态 $a_i$ 的次数时，则在 $m+n$ 时刻转移到未来任一时刻状态 $a_j$ 的转移概率为：
$$ P_{ij}(m,m+n)=P\left\{X_{m+n} = a_j|X_m=a_i \right\} $$
这些转移移概率可以排成一个的[[转移概率矩阵]]：$P(m,m+n) (P_{ij}(m,m+n))$
- 当 $m=1$ 时为一阶转概率矩阵，$m\ge2$ 时为高阶概率转移矩阵，有了概率转移矩阵，就得到了状态之间经一步和多步转移的规律，这些规律就是贷款状态间演变规律的表，当初始状态已知时，可以查表做出不同时期的[[预测]]。
实例
- 假定某大学有 $1$ 万学生，每人每月用 $1$ 支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。 根据本月（12 月）调查，有 $3000$ 人使用黑妹牙膏，$7000$ 人使用中华牙膏。 又据调查,使用黑妹牙膏的 $3000$ 人中，有 $60\%$ 的人下月将继续使用黑妹牙膏，$40\%$ 的人将改用中华牙膏； 使用中华牙膏的 $7000$ 人中， 有 $70\%$ 的人下月将继续使用中华牙膏，$30\%$ 的人将改用黑妹牙膏。据此，可以得到如下所示的统计表
| 转移 | 黑妹牙膏 | 中华牙膏 |
|---|---|---|
| 黑妹牙膏 | $60\%$ | $40\%$ |
| 中华牙膏 | $30\%$ | $70\%$ |
上表中的 $4$ 个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵
$$ B=\begin{bmatrix}60\% & 40\%\\30\% & 70\%\end{bmatrix} $$
称为转移概率矩阵。可以看出，转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为 $1$。 在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种[[品牌]]牙膏的人数百分比之和为$1$。
- 用转移概率矩阵预测[[市场占有率]]的变化
有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（1 月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：
$$ (3000,7000) \begin{bmatrix}60\% & 40\%\\30\% & 70\%\end{bmatrix} =(3900,6100) $$
即：$1$ 月份使用黑妹牙膏的人数将为 $3900$，而使用中华牙膏的人数将为 $6100$。
假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到 2 月份的情况为：
$$ \begin{aligned} (3900,6100)\begin{bmatrix}60\% & 40\%\\30\% & 70\%\end{bmatrix} &=(3000,7000)\begin{bmatrix}60\% & 40\%\\30\% & 70\%\end{bmatrix}\begin{bmatrix}60\% & 40\%\\30\% & 70\%\end{bmatrix}\\ &=(3000,7000)\begin{bmatrix}60\% & 40\%\\30\% & 70\%\end{bmatrix}^2\\ &=(4170,5830) \end{aligned} $$
这里
$$ \begin{bmatrix}60\% & 4\%\\30\% & 70\%\end{bmatrix}^2 $$
称为二步转移矩阵，也即由 12 月份的情况通过 $2$ 步转移到 2 月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地， $k$ 步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的 $k$ 次方。可以证明，$k$ 步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为 $1$。
11.2.2 State Transition Matrix and Diagram关于转移概率介简洁清楚。