莫比乌斯函数

定义

\[\mu(n)= \begin {cases} 1&n=1\\ 0&\text{存在一个n的非1因子为完全平方数，即n的某个质因子幂次不小于2}\\ (-1)^k&\text{n的所有质因子幂次都为1，其中k为n的不相等质因子个数} \end {cases} \]

性质

1. 莫比乌斯函数是积性函数。

2. 对于任意 \(n\in Z^*\) ， \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\).

3. 对于任意 \(n\in Z^*\) , \(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}\)

求解

void get_mu(int n)
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!NotPr[i]) pr[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;++j)
		{
			NotPr[pr[j]*i]=1;
			if(!(i%pr[j])) break;
			mu[pr[j]*i]=-mu[i];
		}
	}
}

莫比乌斯反演

定义

存在两个定义域为 \(N*\) 的函数 \(F(x)\) 和 \(f(x)\) ，满足：

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

则有：

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) \]

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d) \]