概念

• 零概率问题：在计算事件的概率时，如果某个事件在观察样本库（训练集）中没有出现过，会导致该事件的概率结果是  $0$ 。这是不合理的，不能因为一个事件没有观察到，就被认为该事件一定不可能发生（即该事件的概率为 $0$ ）。

　　拉普拉斯平滑(Laplacian smoothing) 是为了解决零概率的问题。

• 法国数学家 拉普拉斯 最早提出用 加 $1$  的方法，估计没有出现过的现象的概率。
• 理论假设：假定训练样本很大时，每个分量 $x$ 的计数加  $1$  造成的估计概率变化可以忽略不计，但可以方便有效的避免零概率问题

　　具体公式
　　对于一个随机变量  $\mathrm{z} $ , 它的取值范围是   $\{1,2,3 \ldots, \mathrm{k}\} $, 对于   $\mathrm{m} $  次试验后的观测 结果  $  \left\{\mathrm{z}^{(1)}, \mathrm{z}^{(2)}, \mathrm{z}^{(3)}, \ldots, \mathrm{z}^{(\mathrm{m})}\right\} $, 极大似然估计按照下式计算:

　　　　$\varphi_{j}=\frac{\sum_{i=1}^{m} I\left\{z^{(i)}=j\right\}}{m}$

　　使用 Laplace 平滑后, 计算公式变为:

　　　　$\varphi_{j}=\frac{\sum_{i=1}^{m} I\left\{z^{(i)}=j\right\}+1}{m+\mathrm{k}}$

　　即在分母上加上取值范围的大小, 在分子加  $1$ 。
　　总结: 分子加一，分母加  $K$，$K$  代表类别数目。

　　应用场景举例
　　假设在文本分类中，有  $3$  个类：$C_1$、$C_2$、$C_3$
　　在指定的训练样本中，某个词语  $K_1$ ，在各个类中观测计数分别为  $0$，$990$，$10$。
　　则对应   $K_1$  的概率为 $0，0.99，0.01$。

　　显然  $C_1$  类中概率为  $0$，不符合实际。

　　于是对这三个量使用拉普拉斯平滑的计算方法如下：
　　$1/1003 = 0.001$，$991/1003=0.988$，$11/1003=0.011$
　　在实际的使用中也经常使用加 $λ$（$0≤λ≤1$）来代替简单加  $1$。如果对  $N$个计数都加上  $λ$，这时分母也要记得加上 $N*λ$。