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• 4.1 矩阵的LU分解

• 将矩阵表示成特定类型矩阵的乘积,
  • 称矩阵的分解.
• 矩阵的分解理论与方法是
  • 矩阵分析理论重要内容,
  • 在解线性方程组,
  • 求特征值,求广义逆矩阵的实际计算中有着重要的应用价值

4.1 矩阵的LU分解

• 定义4.1
• A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n
• 若 A A A可表示成一个下三角矩阵 L L L与一个上三角矩阵乘积

A=LU

• 则称其为矩阵A的LU分解(三角分解)

 

• 定理4.1
• A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n,如果 A A A的顺序主子式

• 则存在惟一的主对角线上元素全为 1 1 1的下三角阵 L L L
• 与惟一的上三角矩阵U,使
• A = L U A=LU A=LU

 

以后再写

 

• 对线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b
• 设 A = L U A=LU A=LU是其 L U LU LU分解.
• 先求 L y = b Ly=b Ly=b
  • L是下三角矩阵, y y y可通过依次求出其分量 y 1 , y 2 , ⋯   , y n y_1,y_2,\cdots,y_n y1​,y2​,⋯,yn​求出,
  • 再 U x = y Ux=y Ux=y.
  • x x x可通过该方程组依次求出分量 x n , x n − 1 , … x 2 , x 1 x_n,x_{n-1},…x_2,x_1 xn​,xn−1​,…x2​,x1​快速得出

 

• n n n阶矩阵A满足定理4.1时,
• 可用初等变换的方法求出 L L L和 U U U

 

• 当 A = L U A=LU A=LU时, L L L可逆,故必存在可逆阵 P P P
• P L = I PL=I PL=I
• P A = P L U = U PA=PLU=U PA=PLU=U
• 可先对 A A A行初等变换得出上三角阵 U U U,
• 而 P P P可通过对单位阵进行相同的行初等变换得出.
• 即有

P ( A , I ) = ( P A , P I ) = ( U , P ) P(A, I)=(PA, PI)=(U, P) P(A,I)=(PA,PI)=(U,P)

• 于是 A = P − 1 U A=P^{-1}U A=P−1U,为保持 P P P为下三角(从而 P − 1 P^{-1} P−1也下三角),
• 行初等变换时,
  • 不能行对换,
  • 上行的倍数应加到下行的对应元

 

• 例1

• 因爲