二分查找解决数组元素定位问题

2021-10-25 03:53:31

二分查找（Binary Search）

问题定义：

给定包含 n 个元素的已排序数组 sorted_array[]，求给定元素 x 的位置。

最简单直接的办法就是线性查找（Linear Search），从数组的最左端开始，逐个值与 x 进行比较，如果匹配则返回元素位置，如果不匹配则右移一位继续比较，如果比较到末尾仍为找到则返回 -1。由此可知，线性查找的时间复杂度为 O(n)。

 1   class Program
 2   {
 3     static void Main(string[] args)
 4     {
 5       int[] sorted_array = new int[10] { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
 6 
 7       int index = LinearSearch(sorted_array, 6);
 8       Console.WriteLine(index);
 9 
10       Console.ReadKey();
11     }
12 
13     static int LinearSearch(int[] sorted_array, int x)
14     {
15       for (int i = 0; i < sorted_array.Length; i++)
16       {
17         if (sorted_array[i] == x)
18         {
19           return i;
20         }
21       }
22 
23       return -1;
24     }
25   }

二分查找（Binary Search）算法使用了分治法（Divide and Conquer）来不断缩小查找范围，并充分利用已知的信息将查找时间复杂度降低到 O(logn)。

那已知信息就是：数组是已排序的。

这样通过如下步骤可以减少比较次数：

将 x 与数组的中间的值进行比较；
如果 x 与中间的值相等，则直接返回中间值的位置；
如果 x 较小，则若存在必出现在中间值的左侧；
如果 x 较大，则若存在必出现在中间值的右侧；

可以通过递归（Recursive）和迭代（Iterative）两种方式来实现。

递归方式（Recursive）实现：

 1     static void Main(string[] args)
 2     {
 3       int[] sorted_array = new int[10] { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
 4 
 5       int index = BinarySearchByRecursive(
 6         sorted_array, 0, sorted_array.Length, 6);
 7       Console.WriteLine(index);
 8 
 9       Console.ReadKey();
10     }
11 
12     static int BinarySearchByRecursive(
13       int[] sorted_array,
14       int left,
15       int right,
16       int x)
17     {
18       if (left <= right)
19       {
20         int middle = left + (right - left) / 2;
21 
22         if (x == sorted_array[middle])
23           return middle;
24 
25         if (x < sorted_array[middle])
26           return BinarySearchByRecursive(
27             sorted_array, left, middle - 1, x);
28 
29         return BinarySearchByRecursive(
30           sorted_array, middle + 1, right, x);
31       }
32 
33       return -1;
34     }

迭代方式（Iterative）实现：

 1     static void Main(string[] args)
 2     {
 3       int[] sorted_array = new int[10] { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
 4 
 5       int index = BinarySearchByIterative(
 6         sorted_array, 0, sorted_array.Length, 6);
 7       Console.WriteLine(index);
 8 
 9       Console.ReadKey();
10     }
11 
12     static int BinarySearchByIterative(
13       int[] sorted_array,
14       int left,
15       int right,
16       int x)
17     {
18       while (left <= right)
19       {
20         int middle = left + (right - left) / 2;
21 
22         if (x == sorted_array[middle])
23           return middle;
24 
25         if (x < sorted_array[middle])
26           right = middle - 1;
27         else
28           left = middle + 1;
29       }
30 
31       return -1;
32     }

从上面的代码可知，在最坏情况下需要 logn + 1 次比较操作。每个迭代周期内进行了 2 次比较，除非成功匹配了元素。现在我们来尝试尽量减少比较操作的数量，在 while 循环内仅进行一次比较。

 1     static void Main(string[] args)
 2     {
 3       int[] sorted_array = new int[10] { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };
 4 
 5       for (int i = 0; i < sorted_array.Length; i++)
 6       {
 7         int index = BinarySearchByIterativeWithLessComparison(
 8           sorted_array, 0, sorted_array.Length, i);
 9         Console.WriteLine(index);
10       }
11 
12       Console.ReadKey();
13     }
14 
15     static int BinarySearchByIterativeWithLessComparison(
16       int[] sorted_array,
17       int left,
18       int right,
19       int x)
20     {
21       int middle;
22 
23       while (right - left > 1)
24       {
25         middle = left + (right - left) / 2;
26 
27         if (sorted_array[middle] <= x)
28           left = middle;
29         else
30           right = middle;
31       }
32 
33       if (sorted_array[left] == x)
34         return left;
35       else
36         return -1;
37     }

现在我们通过使用二分查找（Binary Search）来解决一些常见问题。

问题定义：

给定包含 n 个元素的已排序数组 sorted_array[]，求小于等于给定元素 x 的最近位置（Floor Value）。

例如：sorted_array[] = [2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12]，x = 9，则 FloorValue = 8。

这里需要考虑几个边界条件：

如果数组内的所有元素都小于 x，则最后一个元素即为 FloorValue。
如果数组内的所有元素都大于 x，则实际上不存在 FloorValue，属于异常情况，返回 -1。

 1     static void Main(string[] args)
 2     {
 3       int[] sorted_array = new int[8] { 2, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12 };
 4 
 5       int index = -1;
 6 
 7       for (int i = 0; i < sorted_array.Length; i++)
 8       {
 9         index = Floor(sorted_array, sorted_array[i]);
10         Console.WriteLine(index);
11       }
12 
13       index = Floor(sorted_array, 1);
14       Console.WriteLine(index);
15 
16       index = Floor(sorted_array, 5);
17       Console.WriteLine(index);
18 
19       index = Floor(sorted_array, 9);
20       Console.WriteLine(index);
21 
22       index = Floor(sorted_array, 13);
23       Console.WriteLine(index);
24 
25       Console.ReadLine();
26     }
27 
28     static int Floor(
29       int[] sorted_array,
30       int x)
31     {
32       if (x < sorted_array[0])
33         return -1;
34 
35       return BinarySearchFloorPosition(
36         sorted_array, 0, sorted_array.Length, x);
37     }
38 
39     static int BinarySearchFloorPosition(
40       int[] sorted_array,
41       int left,
42       int right,
43       int x)
44     {
45       int middle;
46 
47       while (right - left > 1)
48       {
49         middle = left + (right - left) / 2;
50 
51         if (sorted_array[middle] <= x)
52           left = middle;
53         else
54           right = middle;
55       }
56 
57       return left;
58     }

问题定义：

给定包含 n 个元素的已排序数组 sorted_array[]，求大于等于给定元素 x 的最近位置（Ceiling Value）。

例如：sorted_array[] = [2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12]，x = 9，则 CeilingValue = 10。

这里需要考虑几个边界条件：

如果数组内的所有元素都大于 x，则第一个元素即为 CeilingValue。
如果数组内的所有元素都小于 x，则实际上不存在 CeilingValue，属于异常情况，返回 -1。

 1     static void Main(string[] args)
 2     {
 3       int[] sorted_array = new int[8] { 2, 2, 4, 6, 7, 7, 10, 12 };
 4 
 5       int index = -1;
 6 
 7       for (int i = 0; i < sorted_array.Length; i++)
 8       {
 9         index = Ceiling(sorted_array, sorted_array[i]);
10         Console.WriteLine(index);
11       }
12 
13       index = Ceiling(sorted_array, 1);
14       Console.WriteLine(index);
15 
16       index = Ceiling(sorted_array, 5);
17       Console.WriteLine(index);
18 
19       index = Ceiling(sorted_array, 9);
20       Console.WriteLine(index);
21 
22       index = Ceiling(sorted_array, 13);
23       Console.WriteLine(index);
24 
25       Console.ReadLine();
26     }
27 
28     static int Ceiling(
29       int[] sorted_array,
30       int x)
31     {
32       if (x > sorted_array[sorted_array.Length - 1])
33         return -1;
34       if (x <= sorted_array[0])
35         return 0;
36 
37       return BinarySearchCeilingPosition(
38         sorted_array, 0, sorted_array.Length, x);
39     }
40 
41     static int BinarySearchCeilingPosition(
42       int[] sorted_array,
43       int left,
44       int right,
45       int x)
46     {
47       int middle;
48 
49       while (right - left > 1)
50       {
51         middle = left + (right - left) / 2;
52 
53         if (sorted_array[middle] < x)
54           left = middle;
55         else
56           right = middle;
57       }
58 
59       return right;
60     }

问题定义：

给定包含 n 个元素的已排序数组 sorted_array[]，其中可能包含若干重复的元素，求给定元素 x 重复的次数。

由于是已排序数组，则相同的元素肯定是连续的。这样可以通过查找 x 的最左侧出现和 x 的最右侧出现，则中间的部分都是 x，出现次数 = right - left + 1。

例如：例如：sorted_array[] = [-1, 2, 3, 8, 8, 8, 8, 10]，x = 8，则重复的位置为 [8, 8, 8, 8]，则重复次数为 6 - 3 + 1 = 4 次。

 1     static void Main(string[] args)
 2     {
 3       int[] sorted_array = new int[8] { -1, 2, 3, 8, 8, 8, 8, 10 };
 4 
 5       int count = CountOccurrences(sorted_array, 8);
 6       Console.WriteLine(count);
 7 
 8       Console.ReadKey();
 9     }
10 
11     static int GetLeftPosition(
12       int[] sorted_array,
13       int left,
14       int right,
15       int x)
16     {
17       int middle;
18 
19       while (right - left > 1)
20       {
21         middle = left + (right - left) / 2;
22 
23         if (sorted_array[middle] >= x)
24           right = middle;
25         else
26           left = middle;
27       }
28 
29       return right;
30     }
31 
32     static int GetRightPosition(
33       int[] sorted_array,
34       int left,
35       int right,
36       int x)
37     {
38       int middle;
39 
40       while (right - left > 1)
41       {
42         middle = left + (right - left) / 2;
43 
44         if (sorted_array[middle] <= x)
45           left = middle;
46         else
47           right = middle;
48       }
49 
50       return left;
51     }
52 
53     static int CountOccurrences(
54       int[] sorted_array,
55       int x)
56     {
57       int left = GetLeftPosition(sorted_array, -1, sorted_array.Length - 1, x);
58       int right = GetRightPosition(sorted_array, 0, sorted_array.Length, x);
59 
60       return (sorted_array[left] == x && x == sorted_array[right]) ?
61              (right - left + 1) : 0;
62     }

问题定义：

给定包含 n 个元素的已排序数组 sorted_array[]，但数组被从中间某未知点翻转为 A[]，求 A[] 数组中的最小元素。

实际上数组中的最小元素 x 将数组分成了左右两侧，左侧的大于 x，右侧的也大于 x。

 1     static void Main(string[] args)
 2     {
 3       int[] A = new int[8] { 6, 7, 8, 9, 10, 2, 3, 4 };
 4 
 5       int minimum = BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(
 6         A, 0, A.Length - 1);
 7       Console.WriteLine(minimum);
 8 
 9       Console.ReadKey();
10     }
11 
12     static int BinarySearchIndexOfMinimumRotatedArray(
13       int[] A,
14       int left,
15       int right)
16     {
17       int middle;
18 
19       if (A[left] <= A[right])
20         return left;
21 
22       while (left <= right)
23       {
24         if (left == right)
25           return left;
26 
27         middle = left + (right - left) / 2;
28 
29         if (A[middle] < A[right])
30           right = middle;
31         else
32           left = middle + 1;
33       }
34 
35       return -1;
36     }

问题定义：

给定包含 n 个元素的已排序数组 sorted_array[]，查找其中元素位置等于元素值的位置（Fixed Point）。

例如：sorted_array[] = { -10, -1, 0, 3, 10, 11, 30, 50 }，则 Fixed Point = 3。

 1     static void Main(string[] args)
 2     {
 3       int[] sorted_array = new int[8] { -10, -1, 0, 3, 10, 11, 30, 50 };
 4 
 5       int index = -1;
 6 
 7       index = BinarySearchFixedPosition(
 8         sorted_array, 0, sorted_array.Length - 1);
 9       Console.WriteLine(index);
10 
11       Console.ReadLine();
12     }
13 
14     static int BinarySearchFixedPosition(
15       int[] array,
16       int left,
17       int right)
18     {
19       if (right >= left)
20       {
21         int middle = (left + right) / 2;
22 
23         if (middle == array[middle])
24           return middle;
25         else if (middle > array[middle])
26           return BinarySearchFixedPosition(array, (middle + 1), right);
27         else
28           return BinarySearchFixedPosition(array, left, (middle - 1));
29       }
30 
31       return -1;
32     }

问题定义：

给定包含 n 个元素的数组 array[]，查找某高点的值大于左右两侧的值的位置（Peak Position）。

例如：array[] = { 1, 3, 20, 4, 1 }，则 Peak Value = 20，Peak Position = 2。

 1     static void Main(string[] args)
 2     {
 3       int[] array = new int[5] { 1, 3, 20, 4, 1 };
 4 
 5       int index = -1;
 6 
 7       index = FindPeakPosition(array);
 8       Console.WriteLine(index);
 9 
10       Console.ReadLine();
11     }
12 
13     static int FindPeakPosition(int[] array)
14     {
15       return BinarySearchPeakPosition(
16         array, 0, array.Length - 1);
17     }
18 
19     static int BinarySearchPeakPosition(
20       int[] array,
21       int left,
22       int right)
23     {
24       int middle = left + (right - left) / 2;
25 
26       // compare middle element with its neighbors (if neighbors exist)
27       if ((middle == 0 || array[middle - 1] <= array[middle])
28         && (middle == array.Length - 1
29           || array[middle + 1] <= array[middle]))
30         return middle;
31 
32       // if middle element is not peak and its left neighbor is greater than it
33       // then left half must have a peak element
34       else if (middle > 0 && array[middle - 1] > array[middle])
35         return BinarySearchPeakPosition(array, left, (middle - 1));
36 
37       // if middle element is not peak and its right neighbor is greater than it
38       // then right half must have a peak element
39       else
40         return BinarySearchPeakPosition(array, (middle + 1), right);
41     }

本文转自匠心十年博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/gaochundong/p/binary_search.html，如需转载请自行联系原作者

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