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前言
上篇笔记的 Tarjan 算法笔记讲了求割点，割边等在无向图中的算法，本篇笔记将会介绍求强连通分量这个在有向图中的理论算法。
强连通分量这个算法大多数情况下在 OI 中不会直接考查，但是它的其它用途非常广泛：例如在部分 dp 题中，需要将一个有环的有向图缩成一个一个的点从而成为一个 DAG（有向无环图），然后再进行拓扑排序。本文除了要介绍强连通分量之外，还要介绍实现上述步骤的方法— —缩点。
顺便，缩点真的是太恶心了，写完代码简直是一口老血喷出来 QAQ
除此以外，笔者还会介绍 Tarjan 算法的另一个应用，求树上的 LCA（最近公共祖先）：利用倍增法求 LCA 的时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 的预处理以及 \(\mathcal{O}(\log n)\) 的在线查询；而如果用 Tarjan 算法求 LCA，就可以实现 \(\Theta(n+q)\) 的离线查询。这是非常优秀的时间复杂度优化。
问题引入
小 \(P\) 酷爱探险。一天，他来到了一个巨大的墓室里。这个墓室有 \(V\) 个房间，编号为 \(1,2,\cdots,V\)，第 \(i\) 个房间中有价值为 \(a_i\) 的宝藏。有 \(|E|\) 条甬道将这 \(V\) 个房间连接起来。然而这个墓室的机关设计得很巧妙，甬道只允许单向通行。现在小 \(P\) 可以从任何一个房间进入墓室，也可以从任何一个房间出来。
小 \(P\) 在盗墓探索墓穴时可以拿走所有他所在房间的宝藏，但是如果重复经过一个房间的话，当然没有两份宝藏给他拿。所以小 \(P\) 想问你，他在离开出口前，至少可以拿走价值为多少的宝藏？
形式化地讲述题目：给定一张有向图 \(G(V,E)\)，点带权，找到一条路径，使经过的节点权值和最大。可以重复经过一个点，但点权只计算一次。
例如：下面这张图中，黑色数字代表房间编号，绿色代表该房间内宝藏的价值。小 \(P\) 可以走路径 1->2->3->1->4，这样获得的最大价值为 \(a_1+a_2+a_3+a_4=2+3+4+1000=1009\)。
Tarjan 求强连通分量
求强连通分量的思路及步骤
我们先来复习一下强连通分量的定义：
在一张有向图中，如果我们可以找到若干个结点形成点集 \(X\)，使这些节点可以相互到达，则称点集 \(X\) 为图的一个连通分量；同时，若对于某个连通分量 \(X\) 不存在任何一个节点 \(u\notin X\)，使得 \(X\) 和 \(u\) 依旧形成连通分量，则称 \(X\) 为图的一个强连通分量。
(这个概念好像还是有点太拗口了，但是我也不知道怎么才能简便地描述了 QwQ，我太蒻了）
如果使用 Tarjan 算法的话，依旧可以在 \(\mathcal{O}(|V|+|E|)\) 的时间复杂度内求出所有强连通分量，不过与求割点、割边的算法不大相同的，我们需要维护一个节点被搜到的顺序的栈。它的步骤如下：
- 从源点开始搜索。在搜索的时候，将被搜到的节点入栈；
- 维护当前节点的 \(\textit{dfn}\) 值和 \(\textit{low}\) 值。注意维护的方式与割点、割边算法不同：假如目前节点 \(u\) 的出边 \(v\) 指向的节点还在栈内，则我们令 \(\textit{low}[u]=\min(\textit{low}[u],\textit{low}[v])\)；
- 在当前节点的所有出边都已经搜完（或者当前节点根本出度为 \(0\)）的时候回溯，但是不退栈。
- 直到当前回溯到的节点的 \(\textit{low}\) 值与 \(\textit{dfn}\) 值相等的时候，将该节点用一种颜色染色。同时，从栈顶弹出元素，一直到这个节点被弹出，在这个过程中，每个被弹出的节点都要染上相同的颜色。
- 整张图搜完之后，同一个颜色的所有节点，构成一个强连通分量。
好像还是不大好理解 QwQ？我们以下面这张图为例，计算所有的强连通分量。
第一步，我们从一号节点开始搜索，\(\textit{dfn}[1]=\textit{low}[1]=1\)，同时，节点 \(1\) 入栈。当前栈序列：\(1\)；
第二步，我们搜到了二号节点，那么 \(\textit{dfn}[2]=\textit{low}[2]=2\)，节点 \(2\) 入栈。当前栈序列：\(1,2\)；
第三步，搜到三号结点的时候，我们发现三号结点可以回到 \(1\) 号节点，所以 \(\textit{dfn}[3]=3\)，\(\textit{low}[3]=\textit{low}[1]=1\)，节点 \(3\) 入栈，当前栈序列：\(1,2,3\)。
第四步，回溯，但因为 \(3\) 的 \(\textit{dfn}\) 和 \(\textit{low}\) 不相等，这就意味着它可以回到某个 \(1\) 号节点，有可能与 \(1\) 号节点构成强连通分量，所以不退栈。只更新 \(2\)号节点，\(\textit{low}[2]=\min(\textit{low}[2], \textit{low}[3])=1\)。栈序列依旧是：\(1,2,3\)。
第五步，搜索到 \(4\) 号节点，发现 \(4\) 号结点可以达到 \(3\) 号节点，所以 \(\textit{dfn}[4]=4\)，\(\textit{low}[4]=\textit{low}[3]=1\)，节点 \(4\) 入栈，当前栈序列：\(1,2,3,4\)。
第六步，依次搜索到 \(5,6\) 号节点，\(\textit{dfn}[5]=\textit{low}[5]=5\)，\(\textit{dfn}[6]=\textit{low}[6]=6\)，节点 \(5,6\) 入栈，当前栈序列 \(1,2,3,4,5,6\)。
第七步，发现已经搜到头了，回溯，这个时候 \(\textit{low}[6]=\)\textit{dfn}[6]\(，\)\textit{low}[5]=\(\textit{dfn}[5]\)说明 \(6\) 和 \(5\) 各自形成一个单独的强连通分量，为它们染色，并将它们退栈。当前栈序列：\(1,2,3,4\)。
接下来回到 \(4\) 号节点，\(4\) 号节点找到了 \(6\)，但 \(6\) 不在栈里，所以不管它，而且 \(4\) 的 \(\textit{low}\) 值和 \(\textit{dfn}\) 值不相等，所以不将其退栈，栈序列依旧是：\(1,2,3,4\)。
回溯到 \(1\) 号节点，发现 \(\textit{dfn}[1]=\textit{low}[1]\)，所以 \(1\) 是强连通分量的一个根，从栈顶弹出元素，直到 \(1\) 被弹出，这个时候，为所有弹出元素染色。
就这样，所有的颜色相同的节点，就构成了一个强连通分量，我们就找到了整张图中所有的强连通分量。
代码
依旧是模拟上述步骤：
#include <cstdio>
#include <stack>
using namespace std;
const int maxN = 2000001;
int top, n, m, cur, tot;
int head[maxN], dfn[maxN], low[maxN], color[maxN];
bool vis[maxN];
stack <int> stac; //这里用了 STL，如果追求高性能，请使用手写栈或 O2 优化
struct Edge {
int to;
int next;
} edge[maxN];
inline void add_edge(int u, int v) {
edge[++top].to = v;
edge[top].next = head[u];
head[u] = top;
}
void tarjan(int u) { //Tarjan 求强连通分量
dfn[u] = low[u] = ++cur;
vis[u] = true;
stac.push(u); //每次搜索新的节点就将其入栈
for(int ptr = head[u]; ptr; ptr = edge[ptr].next) {
int curv = edge[ptr].to;
if(!dfn[curv]) {
tarjan(curv);
low[u] = min(low[u], low[curv]); //通过孩子结点更新 low 值
}
else if(vis[curv]) { //如果找到的节点不在栈中，意味着这个节点已经位于强连通分量中了，不用再更新 low 值了
low[u] = min(low[u], low[curv]);
}
}
if(dfn[u] == low[u]) { //dfn[u] == low[u] 就意味着这个点是强连通分量分一个“根”节点
color[u] = ++tot; //染色
vis[u] = false; //退栈操作
while(stac.top() != u) {
color[stac.top()] = tot;
vis[stac.top()] = false;
stac.pop();
}
stac.pop();
}
}
int main(void) {
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
int ui, vi;
scanf("%d%d", &ui, &vi);
add_edge(ui, vi);
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(!dfn[i]) { //有向图不一定是强连通图
tarjan(i);
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
printf("%d ", color[i]); //输出每个点所在的强连通分量的编号
}
return 0;
}
//by CaO
缩点— —强连通分量的引用
缩点的用途
回到题目引入中的问题：
假如说题目中的墓室里所有的门都不能回到已经走过的墓室，那么基于贪心的思想：我们应该会选择从前面没有房间的房间进入，到无路可走的房间离开— —如果你从一个前面还有房间的地方进入，那你为什么不在前一个房间进呢。
这样的话，我们首先想到的就是拓扑排序：每次都找到入度为 \(0\) 的节点，删去这些点，并对它们的 “子” 节点进行记忆化搜索。（如果有时间我会开一个坑，着重讲一下拓扑排序 QwQ，不过现在还是懒）
然而，题目并没有保证这张图是一个 DAG（有向无环图），所以，直接使用拓排，如果遇见了环，就会得到 “无解” 的答案。
我们会想，如果有若干个点连成了一个强连通分量，那么依旧是基于贪心的思想，我们当然是将这个强连通分量里的所有点都走一遍，能拿干嘛不拿。
既然如此，所有的强连通分量，就等效于一个个的点，这个点的权值，就是强连通分量里所有点的权值和，如下图。
这样，我们在找到所有的强连通分量后，把它们缩环为点，就可以得到一张 DAG，我们就可以在这上面进行拓排辣！QwQ
代码
说实在的，这个代码我真是不想贴上了，写得我神清气爽，终于把洛谷上的板子题 A 了，但是因为写得太乱了，实在是不敢优化 QwQ，凑合着看吧。
/***写完了连自己都不敢调的缩点 QAQ***/
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxN = 2000001;
int top, n, m, cur, tot, ans;
int head[maxN], newhead[maxN];
int dfn[maxN], low[maxN];
int fa[maxN], color[maxN], index[maxN];
int dp[maxN], arr[maxN];
bool vis[maxN];
stack <int> stac;
queue <int> que;
struct Edge {
int to;
int next;
} edge[maxN], newedge[maxN];
inline void add_edge(int u, int v) {
edge[++top].to = v;
edge[top].next = head[u];
head[u] = top;
}
inline void add_new(int u, int v) {
newedge[++top].to = v;
newedge[top].next = newhead[u];
newhead[u] = top;
}
void tarjan(int u) { //Tarjan 求强连通分量
dfn[u] = low[u] = ++cur;
vis[u] = true;
stac.push(u); //每次搜索新的节点就将其入栈
for(int ptr = head[u]; ptr; ptr = edge[ptr].next) {
int curv = edge[ptr].to;
if(!dfn[curv]) {
tarjan(curv);
low[u] = min(low[u], low[curv]); //通过孩子结点更新 low 值
}
else if(vis[curv]) { //如果找到的节点不在栈中，意味着这个节点已经位于强连通分量中了，不用再更新 low 值了
low[u] = min(low[u], low[curv]);
}
}
if(dfn[u] == low[u]) { //dfn[u] == low[u] 就意味着这个点是强连通分量分一个“根”节点
color[u] = ++tot; //染色
vis[u] = false; //退栈操作
while(stac.top() != u) {
color[stac.top()] = tot;
vis[stac.top()] = false;
fa[stac.top()] = u;
stac.pop();
}
stac.pop();
}
}
void toposort(void) {
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(index[fa[i]] == 0 && !vis[fa[i]]) {
vis[fa[i]] = true;
dp[fa[i]] = arr[i];
ans = max(dp[fa[i]], ans); //用入度为 0 的点更新 ans 值
que.push(fa[i]); //入度为 0 的点入栈
}
}
while(!que.empty()) { //拓扑排序模板
int curu = que.front();
que.pop();
for(int ptr = newhead[curu]; ptr; ptr = newedge[ptr].next) {
int curv = newedge[ptr].to;
--index[curv];
if(!index[curv]) {
que.push(curv);
}
dp[curv] = max(dp[curv], dp[curu] + arr[curv]); //每次更新节点的 dp 值时更新答案。
ans = max(ans, dp[curv]);
}
}
}
int main(void) {
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d", &arr[i]);
fa[i] = i;
}
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
int ui, vi;
scanf("%d%d", &ui, &vi);
add_edge(ui, vi);
}
top = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(!dfn[i]) { //有向图不一定是强连通图
tarjan(i);
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(fa[i] != i) {
arr[fa[i]] += arr[i]; //缩点
}
for(int ptr = head[i]; ptr; ptr = edge[ptr].next) { //建立新图
if(fa[edge[ptr].to] != fa[i]) {
add_new(fa[i], fa[edge[ptr].to]);
++index[fa[edge[ptr].to]];
}
}
}
toposort(); //拓扑排序
printf("%d", ans); //输出可获得的最大权值和
return 0;
}
//by CaO
Tarjan 与 LCA 算法
LCA 问题介绍
所谓 LCA，即树上最近公共祖先（Least Common Ancestors）。问题内容是：给定一棵有 \(n\) 个结点的有根树，结点编号为 \(1,2,\cdots,n\)。\(m\) 次询问编号为 \(a_i,b_i\) 的一对节点在树上最近的一级公共祖先为哪个点。
Tarjan 算法求 LCA
Tarjan 算法可以再 \(\Theta(n)\) 的预处理，\(\mathcal{O}(1)\) 查询的复杂度内完成 LCA 的离线算法。算法过程如下：
- 保存所有需要查询的点对编号；
- 从根节点开始搜索这棵树，在搜索某个点的时候将其标记为已访问过；并在回溯时将它的所有孩子结点与之合并（这里需要使用并查集）；
- 遍历所有与当前节点 \(u\) 有查询关系的节点 \(v\)，如果 \(v\) 已经被访问过，那么我们输出 \(u\) 和 \(v\) 的 LCA 为 \(\textit{fa}[v]\)。
还是上图，以这张图为例，求 \(\operatorname{LCA}(4,6)\)（为了方便表示，标记节点被访问过的操作在以下视为染成绿色）：
从一号节点开始搜索，一号节点染色，并递归搜索 \(2\) 号节点。
二号节点染绿后，遍历它的子树，遇见四号结点。与四号结点有查询关系的是 \(6\)，但其未被查询到，不管它。
回溯的时候，把四号结点和二号节点合并。
再搜索 \(2\) 的另一棵子树，给 \(5\) 号染色，递归找到 \(6\) 号节点，并给 \(6\) 号染色。
我们发现 \(6\) 与 \(4\) 有查询关系，而且 \(4\) 已经被访问过了，所以我们可以知道 \(\operatorname{LCA}(6,4)=\textit{fa}[4]=2\)。
像这样的算法，可以在一遍 DFS 内找出任意两个节点的 LCA，与倍增相比更要高效。可以尝试着自己动笔模拟一下。
代码
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxN = 200001;
int head[maxN], query[maxN], fa[maxN];
int n, m, top;
bool isRoot[maxN], vis[maxN], answered[maxN];
struct Edge {
int to;
int next;
int num;
} edge[maxN], ans[maxN]; //edge 记录原树，answer 记录所有待查询的点对
inline void add_edge(int u, int v) {
edge[++top].to = v;
edge[top].next = head[u];
head[u] = top;
}
inline void add_query(int u, int v, int num) { //添加查询队伍
ans[++top].to = v;
ans[top].next = query[u];
ans[top].num = num;
query[u] = top;
}
//并查集模板
inline void init(int n) {
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
fa[i] = i;
isRoot[i] = true;
}
}
int find(int x) {
if(fa[x] == x) {
return x;
}
else {
fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
}
inline void merge(int x, int y) {
fa[find(x)] = find(y); //注意合并的方向是 x 并向 y
}
void tarjan(int x) {
vis[x] = true; //标记该点已访问过
for(int ptr = head[x]; ptr; ptr = edge[ptr].next) {
int curv = edge[ptr].to;
tarjan(curv);
merge(curv, x); //合并孩子结点
}
for(int ptr = query[x]; ptr; ptr = ans[ptr].next) {
int curv = ans[ptr].to, num = ans[ptr].num;
if(vis[curv] && !answered[num]) {
printf("LCA(%d, %d) = %d\n", x, curv, find(curv)); //离线输出答案
answered[num] = true; //同一个问题不用回答两次
}
}
}
int main(void) {
scanf("%d%d", &n, &m);
init(n);
for(int i = 1; i < n; ++i) {
int ui, vi;
scanf("%d%d", &ui, &vi);
add_edge(ui, vi);
isRoot[vi] = false;
}
top = 0;
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
int ui, vi;
scanf("%d%d", &ui, &vi);
add_query(ui, vi, i);
add_query(vi, ui, i);
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(isRoot[i]) { //从根节点开始 DFS
tarjan(i);
}
}
return 0;
}
//by CaO
例题
本题目列表会持续更新。
- 洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
这道题是 LCA 的模板题，但用上面的代码不能 AC，用倍增或是 Tarjan 都可以。 - 洛谷 P3387 【模板】缩点
最简单的缩点+拓排 dp 的应用，就是代码写得真是让人头昏脑涨（ - 洛谷 P2341 [USACO03FALL][HAOI2006]受欢迎的牛 G
缩点的简单应用，依旧是缩完点拓排的思路，可以试着做一做。 - 洛谷 P2863 [USACO06JAN]The Cow Prom S
这道题就是很基础的求强连通分量了，不过注意是要输出点数大于 \(1\) 的。