我们可以考虑按照「行优先」的顺序依次枚举每一个空白格中填的数字，通过递归 + 回溯的方法枚举所有可能的填法。当递归到最后一个空白格后，如果仍然没有冲突，说明我们找到了答案；在递归的过程中，如果当前的空白格不能填下任何一个数字，那么就进行回溯。

由于每个数字在同一行、同一列、同一个九宫格中只会出现一次，因此我们可以使用 \textit{line}[i]line[i]，\textit{column}[j]column[j]，\textit{block}[x][y]block[x][y] 分别表示第 ii 行，第 jj 列，第 (x, y)(x,y) 个九宫格中填写数字的情况。在下面给出的三种方法中，我们将会介绍两种不同的表示填写数字情况的方法。

九宫格的范围为 0 \leq x \leq 20≤x≤2 以及 0 \leq y \leq 20≤y≤2。
具体地，第 ii 行第 jj 列的格子位于第 (\lfloor i/3 \rfloor, \lfloor j/3 \rfloor)(⌊i/3⌋,⌊j/3⌋) 个九宫格中，其中 \lfloor u \rfloor⌊u⌋ 表示对 uu 向下取整。

由于这些方法均以递归 + 回溯为基础，算法运行的时间（以及时间复杂度）很大程度取决于给定的输入数据，而我们很难找到一个非常精确的渐进紧界。因此这里只给出一个较为宽松的渐进复杂度上界 O(9^{9 \times 9})O(9 
9×9
 )，即最多有 9 \times 99×9 个空白格，每个格子可以填 [1, 9][1,9] 中的任意整数。

方法一：递归
思路

最容易想到的方法是用一个数组记录每个数字是否出现。由于我们可以填写的数字范围为 [1, 9][1,9]，而数组的下标从 00 开始，因此在存储时，我们使用一个长度为 99 的布尔类型的数组，其中 ii 个元素的值为 \text{True}True，当且仅当数字 i+1i+1 出现过。例如我们用 \textit{line}[2][3] = \text{True}line[2][3]=True 表示数字 44 在第 22 行已经出现过，那么当我们在遍历到第 22 行的空白格时，就不能填入数字 44。

算法

我们首先对整个数独数组进行遍历，当我们遍历到第 ii 行第 jj 列的位置：

如果该位置是一个空白格，那么我们将其加入一个用来存储空白格位置的列表中，方便后续的递归操作；

如果该位置是一个数字 xx，那么我们需要将 \textit{line}[i][x-1]line[i][x−1]，\textit{column}[j][x-1]column[j][x−1] 以及 \textit{block}[\lfloor i/3 \rfloor][\lfloor j/3 \rfloor][x-1]block[⌊i/3⌋][⌊j/3⌋][x−1] 均置为 \text{True}True。

当我们结束了遍历过程之后，就可以开始递归枚举。当递归到第 ii 行第 jj 列的位置时，我们枚举填入的数字 xx。根据题目的要求，数字 xx 不能和当前行、列、九宫格中已经填入的数字相同，因此 \textit{line}[i][x-1]line[i][x−1]，\textit{column}[j][x-1]column[j][x−1] 以及 \textit{block}[\lfloor i/3 \rfloor][\lfloor j/3 \rfloor][x-1]block[⌊i/3⌋][⌊j/3⌋][x−1] 必须均为 \text{False}False。

当我们填入了数字 xx 之后，我们要将上述的三个值都置为 \text{True}True，并且继续对下一个空白格位置进行递归。在回溯到当前递归层时，我们还要将上述的三个值重新置为 \text{False}False。

代码

C++JavaPython3GolangC

bool line[9][9];
bool column[9][9];
bool block[3][3][9];
bool valid;
int* spaces[81];
int spacesSize;

void dfs(char** board, int pos) {
    if (pos == spacesSize) {
        valid = true;
        return;
    }

    int i = spaces[pos][0], j = spaces[pos][1];
    for (int digit = 0; digit < 9 && !valid; ++digit) {
        if (!line[i][digit] && !column[j][digit] && !block[i / 3][j / 3][digit]) {
            line[i][digit] = column[j][digit] = block[i / 3][j / 3][digit] = true;
            board[i][j] = digit + '0' + 1;
            dfs(board, pos + 1);
            line[i][digit] = column[j][digit] = block[i / 3][j / 3][digit] = false;
        }
    }
}

void solveSudoku(char** board, int boardSize, int* boardColSize) {
    memset(line, false, sizeof(line));
    memset(column, false, sizeof(column));
    memset(block, false, sizeof(block));
    valid = false;
    spacesSize = 0;

    for (int i = 0; i < 9; ++i) {
        for (int j = 0; j < 9; ++j) {
            if (board[i][j] == '.') {
                spaces[spacesSize] = malloc(sizeof(int) * 2);
                spaces[spacesSize][0] = i;
                spaces[spacesSize++][1] = j;
            } else {
                int digit = board[i][j] - '0' - 1;
                line[i][digit] = column[j][digit] = block[i / 3][j / 3][digit] = true;
            }
        }
    }

    dfs(board, 0);
}