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为保证行文简洁，以下证明都从略。

平面几何

解三角形

正弦定理

在任意三角形中，各边与其所对角的正弦值的比值相等且等于外接圆的直径，即

\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R \]

（其中 \(R\) 为 \(\Delta ABC\) 外接圆的半径）。

余弦定理

在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值的两倍，即

\[a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A \]

或

\[\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \]

射影定理1

在任意三角形中，任何一边等于其他两边与它们所对角余弦值的积的和，即

\[a=b\cos C+c\cos B \]

射影定理2

在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，即

如图，在 Rt \(\Delta ABC\) 中，\(\angle ABC=90^{\circ}\)，\(BD \perp AC\)，则有

\[\begin{split} BD^{2}=AD\cdot CD\\ AB^{2}=AC\cdot AD\\ BC^{2}=CD\cdot AC \end{split} \]

角平分线定理

在任意三角形中，任意两边之比等于它们夹角的角平分线分对边之比，即

如图，在 \(\Delta ABC\) 中，\(AD\) 是 \(\angle BAC\) 的角平分线，则

\[\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC} \]

海伦-秦九韶公式

对于任意三角形，其面积为

\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{2} \sqrt{a^{2}b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}} \]

其中 \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\)

借助正弦的三角形面积公式

对于任意三角形，其面积为

\[S=\frac{1}{2}ab\sin C \]

三角形的四心

重心

重心为三边中线的交点。设 \(\Delta ABC\) 的重心为 \(G\)，则

• \(S_{\Delta AGB}=S_{\Delta AGC}=S_{\Delta BGC}\)
• 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 \(2:1\)

外心

外心为三边垂直平分线的交点，也为外接圆的圆心。设 \(\Delta ABC\) 的外心为 \(O\)，则

• \(AO=BO=CO\)
• \(\angle BOC=2\angle A\)
• 外接圆半径 \(R=\dfrac{abc}{4S_{\Delta ABC}}\)

内心

内心为三内角角平分线的交点，也为内切圆的圆心。设 \(\Delta ABC\) 的内心为 \(I\)，则

• \(I\) 到三边距离相等
• \(\angle BIC=90^{\circ}+\dfrac{1}{2}\angle A\)
• 内切圆半径 \(r=\dfrac{2S_{\Delta ABC}}{a+b+c}\)

垂心

垂心为三边垂线的交点。利用垂直，可以找出六组四点共圆，三组相似三角形。

圆幂定理

相交弦定理

经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。

如图，弦 \(AC\)、\(BD\) 交于点 \(P\)，则 \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\)

切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

如图，\(ABC\) 为圆 \(O\) 的一条割线 ，\(CD\) 为圆 \(O\) 的一条切线，则 \(CD^{2}=CA\cdot CB\)

割线定理

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图，\(ABC\)、\(EDC\) 为圆 \(O\) 的两条割线，则 \(CB\cdot CA=CD\cdot CE\)

割线定理是切割线定理的直接推论。

弦切角定理

弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

如图，\(BD\) 与圆 \(O\) 相切与 \(B\)，则 \(\angle ACB=\angle CBD\)

托勒密定理

圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

如图，四边形 \(ABCD\) 为圆 \(O\) 的内接四边形，则 \(AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA\)

四点共圆

判定

• 若内对角互补，即 \(\angle ABC +\angle ADC = 180^{\circ}\) 或 \(\angle BAD +\angle BCD=180^{\circ}\)，则四点共圆
• 若线段同侧两点到线段两端点的连线与线段夹角相等，即 \(\angle ADB =\angle ACB\) 或 \(\angle ABD=\angle ACD\) 或 \(\angle DAC=\angle DBC\) 等等，则四点共圆

性质

可根据需要使用各类圆中的性质定理，例如同弧所对圆周角相等且等于该弧所对圆心角的一半、圆幂定理、托勒密定理等。

解析几何

点到直线距离公式

如图，从直线 \(BC\) 外一点 \(A\) 向 \(BC\) 引垂线段 \(AD\)，设 \(BC:y=kx+b\)，\(A(x_{0},y_{0})\)，则

\[|AD|=\frac{|y_{0}-kx_{0}-b|}{\sqrt{1+k^{2}}} \]

中点坐标公式

已知 \(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，则 \(AB\) 中点 \((x_{0},y_{0})\) 满足

\[\begin{split} x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\\ y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \end{split} \]

平行四边形存在性问题常用

直线斜率公式

已知斜率存在的直线 \(l\) 上任意两点 \(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，直线的斜率为

\[k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\tan \theta \]

其中 \(\theta\) 为直线 \(l\) 与 \(x\) 轴正方向的夹角

直线间的关系与斜率

已知直线 \(l_{1}\)，\(l_{2}\)，当它们的斜率都存在时，斜率分别记为 \(k_{1}\)，\(k_{2}\)，

• 若 \(l_{1}\perp l_{2}\)，则 \(k_{1}\cdot k_{2}=-1\)
• 若 \(l_{1}\mathop{//} l_{2}\)，则 \(k_{1}=k_{2}\)

特别地，若 \(l_{1}\perp l_{2}\) 且 \(l_{1}\) 的斜率不存在，则 \(l_{2}\) 斜率为 \(0\)；若 \(l_{1} \mathop{//} l_{2}\) 且 \(l_{1}\) 斜率不存在，则 \(l_{2}\) 的斜率也不存在。

利用点坐标求三角形面积

由 \(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，\(C(x_{3},y_{3})\) 所定义的三角形的面积为

\[S=\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}| \]

可使用三阶行列式简单地记为

\[S=\left|\frac{1}{2} \left|\begin{array}{} x_{1} & y_{1} & 1\\ x_{2} & y_{2} & 1\\ x_{3} & y_{3} & 1\\ \end{array}\right| \right| \]

（最外层为绝对值）

导数法求抛物线的切线

对于抛物线 \(y=ax^{2}+bx+c\) ，它的过点 \((x_{0},y_{0})\) 的切线为\(y=2ax+b\)

圆的方程

对于圆心为 \((a,b)\)，半径为 \(r\) 的圆，它的方程为 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)

点关于直线的对称变换

设 \(P(x_{1},y_{1})\) 关于 \(l:y=kx+b\) 的对称点为 \(P'(x_{2},y_{2})\)，则

\[\begin{cases} x_{2}=x_{1}-2kd^{2} \\ y_{2}=y_{1}+2d^{2} \end{cases} \]

其中 \(d\) 为点 \(P\) 到直线 \(l\) 的距离

点的旋转变换

平面内一点 \(A(x,y)\) 绕坐标原点逆时针旋转 \(\alpha\) 度到 \(A'(x',y')\)，则

\[\begin{split} x'=x\cos\alpha-y\sin\alpha \\ y'=y\cos\alpha+x\sin\alpha \end{split} \]

如果不满足绕坐标原点旋转这一条件，可以先将旋转中心与旋转的对应点整体平移，使得旋转中心与坐标原点重合，再使用公式，最后再平移回去。

如果不满足逆时针旋转这一条件，即 \(A\) 顺时针旋转到 \(A'\)，可以看作 \(A'\) 逆时针旋转到 \(A\)。

三角恒等变换

同角三角函数的关系

\[\begin{split} \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\\ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha \end{split} \]

和差角公式

\[\begin{split} \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \\ \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} \end{split} \]

二倍角公式

\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\ \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha\\ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha} \]

诱导公式

\[\sin(90^{\circ}\pm\alpha)=\cos\alpha\\ \cos(90^{\circ}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha\\ \sin(180^{\circ}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha\\ \cos(180^{\circ}\pm\alpha)=-\cos\alpha \]

不等式

二维算术-几何平均值不等式

\[\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab} \]

其中 \(a,b>0\)，当且仅当 \(a=b\) 时等号成立

一元二次不等式

例如 \(ax^{2}+bx+c>0\)，可作出函数 \(y=ax^{2}+bx+c\) 的图象，观察不等号在 \(x\) 轴上方还是下方成立，即可得出不等式的解集。