算法原理

\(\quad\)中国剩余定理是用来解决如下相关式子

\(\quad\)解法步骤简要分析：

\(\quad\)设前 k-1 个方程解出的答案为 ans ，前 k-1 个 m 的 lcm=M ，则新的 ans 为 (ans+M*x)，且

\[ans+(M\times x)\equiv a_k \pmod {m_k} \]

\(\quad\)这里的 x 是个系数。

\(\quad\)那么转换为

\[M\times x+m_k\times y=a_k-ans \]

\(\quad\)那么这个式子用扩欧可以解决，直接解出 x 即可。

int main(){
    k=read();
    fo(i,1,k){
        scanf("%lld%lld",&b[i],&a[i]);
    }
    fo(i,1,k) a[i]=(a[i]+b[i])%b[i];///预处理
    ll ans=0,lcm=1,A,B,C,gcd,x,y;
    fo(i,1,k)
   {
        A=lcm;
        B=b[i];
        C=(a[i]-ans%b[i]+b[i])%b[i];
        ll gcd=exgcd(A,B,x,y);
        if(C%gcd>0){
            return 0;
        }
        x=mul(x,C/gcd,b[i]);
        ans+=lcm*x;
        lcm=lcm/gcd*b[i];
        ans=(ans%lcm+lcm)%lcm;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

例题

Luogu 4774 屠龙勇士

\(\quad\)首先可以容易列出一系列同余方程，用 excrt 可以求解，但是这个题目要注意，打败巨龙还有一个条件就是至少要将它的血量达到负数或 0 才行。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
using namespace std;
const int maxn=100005;
int T,n,m,b[maxn],t[maxn];
long long a[maxn],p[maxn],mx;
multiset<long long> s;
multiset<ll>::iterator it;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tx=x;
    x=y;
    y=tx-a/b*y;
    return d;
}
ll excrt()
{
    ll ans=0,lcm=1,x,y,gcd,A,B,C;
    fo(i,1,n)
    {
        A=(__int128)b[i]*lcm%p[i];
        B=p[i];
        C=(a[i]-b[i]*ans%p[i]+p[i])%p[i];
        gcd=exgcd(A,B,x,y);
        x=(x%p[i]+p[i])%p[i];
        if(C%gcd) return -1;
        ans+=(__int128)(C/gcd)*x%(B/gcd)*lcm%(lcm*=B/gcd);
        ans%=lcm;
    }
    if(ans<mx) ans+=((mx-ans-1)/lcm+1)*lcm;//第二处
    return ans;
}
int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        s.clear(),mx=0;
        cin>>n>>m;
        fo(i,1,n) cin>>a[i];
        fo(i,1,n) cin>>p[i];
        fo(i,1,n) cin>>t[i];
        fo(i,1,m) 
        {
            int x;
            cin>>x;
            s.insert(x);
        }
        fo(i,1,n)
        {
            it = s.upper_bound(a[i]);
            if(it!=s.begin()) it--;
            b[i]=*it;
            s.erase(it);
            s.insert(t[i]);
            mx=max(mx,(a[i]-1)/b[i]+1);//第一处
        }
        cout<<excrt()<<endl;
    }
    return 0;
}