题目

2045. 到达目的地的第二短时间

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城市用一个 双向连通 图表示，图中有 n 个节点，从 1 到 n 编号（包含 1 和 n）。图中的边用一个二维整数数组 edges 表示，其中每个 edges[i] = [ui, vi] 表示一条节点 ui 和节点 vi 之间的双向连通边。每组节点对由 最多一条 边连通，顶点不存在连接到自身的边。穿过任意一条边的时间是 time 分钟。

每个节点都有一个交通信号灯，每 change 分钟改变一次，从绿色变成红色，再由红色变成绿色，循环往复。所有信号灯都 同时 改变。你可以在 任何时候 进入某个节点，但是 只能 在节点 信号灯是绿色时 才能离开。如果信号灯是 绿色 ，你 不能 在节点等待，必须离开。

第二小的值 是 严格大于 最小值的所有值中最小的值。

• 例如，[2, 3, 4] 中第二小的值是 3 ，而 [2, 2, 4] 中第二小的值是 4 。

给你 n、edges、time 和 change ，返回从节点 1 到节点 n 需要的 第二短时间 。

注意：

• 你可以 任意次 穿过任意顶点，包括 1 和 n 。
• 你可以假设在 启程时 ，所有信号灯刚刚变成 绿色 。

示例 1：

输入：n = 5, edges = [[1,2],[1,3],[1,4],[3,4],[4,5]], time = 3, change = 5
输出：13
解释：
上面的左图展现了给出的城市交通图。
右图中的蓝色路径是最短时间路径。
花费的时间是：
- 从节点 1 开始，总花费时间=0
- 1 -> 4：3 分钟，总花费时间=3
- 4 -> 5：3 分钟，总花费时间=6
因此需要的最小时间是 6 分钟。

右图中的红色路径是第二短时间路径。
- 从节点 1 开始，总花费时间=0
- 1 -> 3：3 分钟，总花费时间=3
- 3 -> 4：3 分钟，总花费时间=6
- 在节点 4 等待 4 分钟，总花费时间=10
- 4 -> 5：3 分钟，总花费时间=13
因此第二短时间是 13 分钟。      

示例 2：

输入：n = 2, edges = [[1,2]], time = 3, change = 2
输出：11
解释：
最短时间路径是 1 -> 2 ，总花费时间 = 3 分钟
最短时间路径是 1 -> 2 -> 1 -> 2 ，总花费时间 = 11 分钟

提示：

• 2 <= n <= 104
• n - 1 <= edges.length <= min(2 * 104, n * (n - 1) / 2)
• edges[i].length == 2
• 1 <= ui, vi <= n
• ui != vi
• 不含重复边
• 每个节点都可以从其他节点直接或者间接到达
• 1 <= time, change <= 103

思路

• 易知，求次短时间相当于求次短加权路径，而又因为消耗时间相同，所以等价于求次短路径
• 使用分支限界法，其中剪枝函数为： d < d i s t [ v ] [ 最小 ]  or  d i s t [ v ] [ 最小 ] < d < d i s t [ v ] [ 次小 ] d < dist[v][\text{最小}]\text{ or }dist[v][\text{最小}] < d < dist[v][\text{次小}] d<dist[v][最小] or dist[v][最小]<d<dist[v][次小]
• 求出次短路径后，易知耗时公式为：

t = { 0 , t i m o d ( 2 × c h a n g e ) ∈ [ 0 , c h a n g e ) 2 × c h a n g e − t i m o d ( 2 × c h a n g e ) t i m o d ( 2 × c h a n g e ) ∈ [ c h a n g e , 2 × c h a n g e ) t = \left\{ \begin{aligned} &0, &t_imod(2\times change) \in[0,change)\\ &2\times change-t_imod(2\times change) &t_imod(2\times change)\in[change,2\times change) \end{aligned} \right. t={​0,2×change−ti​mod(2×change)​ti​mod(2×change)∈[0,change)ti​mod(2×change)∈[change,2×change)​

代码

from collections import deque
from typing import List


class Solution:
    def secondMinimum(self, n: int, edges: List[List[int]], time: int, change: int) -> int:
        graph = [[] for _ in range(n+1)]
        for edge in edges:
            graph[edge[0]].append(edge[1])
            graph[edge[1]].append(edge[0])

        dist = [[float('inf')]*2 for _ in range(n+1)]
        dist[1][0] = 0
        q =  deque([(1,0)])
        while len(q) > 0:
            p = q.popleft()
            for v in graph[p[0]]:
                d = p[1]+1
                if d < dist[v][0]:
                    dist[v][0] = d
                    q.append((v, d))
                elif dist[v][0] < d < dist[v][1]:
                    dist[v][1] = d
                    q.append((v, d))
        ans = 0
        for _ in range(dist[n][1]):
            if ans % (change * 2) >= change:
                ans += change * 2 - ans % (change * 2)
            ans += time
        return ans

复杂度

• 时间复杂度： O ( n e ) O(ne) O(ne),最坏情况下则是两个剪枝函数均不起作用，此时有 2 n 2n 2n次访问，而在节点当中，最坏情况是访问所有节点，即 e e e次访问
• 空间复杂度： O ( n + e ) O(n+e) O(n+e):邻接表保存图： 2 e 2e 2e, 搜索队列： 2 n （访问次数） × 2 （每次访问保存的数据量） 2n\text{（访问次数）}\times2\text{（每次访问保存的数据量）} 2n（访问次数）×2（每次访问保存的数据量）