基本思想

求出这样一些未知参数使得样本点和拟合线的总误差（距离）最小

最直观的感受如下图（图引用自知乎某作者）

而这个误差（距离）可以直接相减，但是直接相减会有正有负，相互抵消了，所以就用差的平方

推导过程

1 写出拟合方程
y=a+bxy=a+bx

2 现有样本(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)

3 设didi为样本点到拟合线的距离，即误差
di=yi−(a+bxi)di=yi−(a+bxi)

4 设DD为差方和（为什么要取平方前面已说，防止正负相互抵消）
D=∑i=1nd2i=∑i=1n(yi−a−bxi)D=∑i=1ndi2=∑i=1n(yi−a−bxi)

5 根据一阶导数等于0，二阶大于等于0（证明略）求出未知参数
对a求一阶偏导
∂D∂a=∑i=1n2(yi−a−bxi)(−1) =−2∑i=1n(yi−a−bxi) ∂D∂a=∑i=1n2(yi−a−bxi)(−1) =−2∑i=1n(yi−a−bxi) 
=−2(∑i=1nyi−∑i=1na−b∑i=1nxi) =−2(ny¯−na−nbx¯)=−2(∑i=1nyi−∑i=1na−b∑i=1nxi) =−2(ny¯−na−nbx¯)

对b求一阶偏导
∂D∂b=∑i=1n2(yi−a−bxi)(−xi) =−2∑i=1n(xiyi−axi−bx2i) ∂D∂b=∑i=1n2(yi−a−bxi)(−xi) =−2∑i=1n(xiyi−axi−bxi2) 
=−2(∑i=1nxiyi−a∑i=1nxi−b∑i=1nx2i) =−2(∑i=1nxiyi−nax¯−b∑i=1nx2i)=−2(∑i=1nxiyi−a∑i=1nxi−b∑i=1nxi2) =−2(∑i=1nxiyi−nax¯−b∑i=1nxi2)

令偏导等于0得
−2(ny¯−na−nbx¯)=0−2(ny¯−na−nbx¯)=0
=>a=y¯−bx¯=>a=y¯−bx¯

−2(∑i=1nxiyi−nax¯−b∑i=1nx2i)=0−2(∑i=1nxiyi−nax¯−b∑i=1nxi2)=0并将a=y¯−bx¯a=y¯−bx¯带入化简得
=>∑i=1nxiyi−nx¯y¯+nbx¯2−b∑i=1nx2i=0=>∑i=1nxiyi−nx¯y¯+nbx¯2−b∑i=1nxi2=0
=>∑i=1nxiyi−nx¯y¯=b(∑i=1nx2i−nx¯2)=>∑i=1nxiyi−nx¯y¯=b(∑i=1nxi2−nx¯2)
=>b=∑i=1nxiyi−nx¯y¯∑i=1nx2i−nx¯2=>b=∑i=1nxiyi−nx¯y¯∑i=1nxi2−nx¯2

因为∑i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)=∑i−1n(xiyi−x¯yi−xiy¯+x¯y¯)=∑i=1nxiyi−nx¯y¯−nx¯y¯+nx¯y¯∑i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)=∑i−1n(xiyi−x¯yi−xiy¯+x¯y¯)=∑i=1nxiyi−nx¯y¯−nx¯y¯+nx¯y¯
∑i=1n(xi−x¯)2=∑i−1n(x2i−2x¯xi+x¯2)=∑i=1nx2i−2nx¯2+nx¯2=∑i=1nx2i−nx¯2∑i=1n(xi−x¯)2=∑i−1n(xi2−2x¯xi+x¯2)=∑i=1nxi2−2nx¯2+nx¯2=∑i=1nxi2−nx¯2

所以将其带入上式得b=∑i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)∑i=1n(xi−x¯)2