引入：
先来看一道题：怎么计算pow(x,n)?
最直观的，暴力解法
class Solution { public double myPow(double x, int n) { long N = n; if (N < 0) { x = 1 / x; N = -N; } double ans = 1; for (long i = 0; i < N; i++) ans = ans * x; return ans; } }
不过，暴力魔法不可取，虽然有时候直观且有效。。
考虑 x的11次方：
x11 = x5 * x5 * x
x5 = x2 * x2 * x
x2 = x * x
模仿这样的过程，我们得到一个在 时间内计算出幂的算法，也就是快速幂。
递归快速幂：
- 计算a的n次方，如果n是偶数（不为0），那么就先计算a的n/2次方，然后平方；
- 如果n是奇数，那么就先计算a的n-1次方，再乘上a
- 递归的边界为 n = 0，任意数的 0 次方均为 1。
于是，算法可以写成：
class Solution { public double myPow(double x, int n) { long N = n; return N >= 0 ? quickMul(x, N) : 1.0 / quickMul(x, -N); } public double quickMul(double x, long N) { if (N == 0) { return 1.0; } double y = quickMul(x, N / 2); return N % 2 == 0 ? y * y : y * y * x; } }
迭代快速幂：
由于递归需要使用额外的栈空间，我们试着将递归转写为迭代。
根据快速幂的原理， 将11拆成1+2+8，也就是20 + 21 + 23，在观察11的二进制1011(从右到左观察)，说白了就是二进制和十进制间的转换，二进制到十进制，0不起作用
也就是，有如下等式：
这样一来，我们从 x 开始不断地进行平方，得到 x2, x4, x8, x16，如果 n 的第 k 个（从右往左，从 0 开始计数）二进制位为 1，那么我们就将对应的贡献 x2^k计入答案。
class Solution { public double myPow(double x, int n) { long N = n; return N >= 0 ? quickMul(x, N) : 1.0 / quickMul(x, -N); } public double quickMul(double x, long N) { double ans = 1.0; // 贡献的初始值为 x double x_contribute = x; // 在对 N 进行二进制拆分的同时计算答案 while (N > 0) { if (N % 2 == 1) { // 如果 N 二进制表示的最低位为 1，那么需要计入贡献 ans *= x_contribute; } // 将贡献不断地平方 x_contribute *= x_contribute; // 舍弃 N 二进制表示的最低位，这样我们每次只要判断最低位即可 N /= 2; } return ans; } }
矩阵快速幂
矩阵快速幂，就是利用矩阵相乘，把上边的数字x换成矩阵A，然后再写一个函数，去计算两个矩阵的乘积
对于数字，初始化为1， 对于矩阵呢，初始化当然是E了，也就是单位矩阵，因为A*E=A
class Solution { static final int MOD = 1000000007; public int fib(int n) { if (n < 2) { return n; } int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}}; int[][] res = pow(q, n - 1); return res[0][0]; } public int[][] pow(int[][] a, int n) { int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}}; while (n > 0) { if ((n & 1) == 1) { ret = multiply(ret, a); } n >>= 1; a = multiply(a, a); } return ret; } public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) { int[][] c = new int[2][2]; for (int i = 0; i < 2; i++) { for (int j = 0; j < 2; j++) { c[i][j] = (int) (((long) a[i][0] * b[0][j] + (long) a[i][1] * b[1][j]) % MOD); } } return c; } }