AGC039D Incenters 解题报告：

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题意

给定单位圆上 \(n\) 个点，随机选三个点求三角形内心期望。

\(3\leqslant n\leqslant 3000\)。

分析

不会推式子/dk。

令 \(C=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\) 为总方案数。

\[\text{E}(P_x)\times C=\sum_{i=1}^n(((n+2i)\sum_{j=i+1}^n\cos a_j-\sum_{j=i+1}^n 2j\cos a_j)\cos a_i-((n+2i)\sum_{j=i+1}^n \sin a_j-\sum_{j=i+1}^n 2j\sin a_j)\sin a_i) \]

同理可以推出：

\[\text{E}(P_y)\times C=\sum_{i=1}^n(((n+2i)\sum_{j=i+1}^n\cos a_j-\sum_{j=i+1}^n 2j\cos a_j)\sin a_i-((n+2i)\sum_{j=i+1}^n \sin a_j-\sum_{j=i+1}^n 2j\sin a_j)\cos a_i) \]

时间复杂度 \(O(n)\)。

代码

#include<stdio.h>
#include<math.h>
const int maxn=3005;
const double pi=acos(-1.0);
int n,L;
int a[maxn];
double ansx,ansy,C,sc,sci,ss,ssi;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&L);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=n;i>=1;i--){
		double A=1.0*a[i]*pi/L,ca=cos(A),sa=sin(A),vc=(1.0*(n+i+i)*sc-2*sci),vs=(1.0*(n+i+i)*ss-2*ssi);
		ansx+=vc*ca-vs*sa,ansy+=vc*sa+vs*ca,sc+=ca,sci+=ca*i,ss+=sa,ssi+=sa*i;
	}
	double C=1.0*n*(n-1)*(n-2)/6;
	printf("%.15lf %.15lf\n",ansx/C,ansy/C);
	return 0;
}