蒙特卡罗算法

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含义

蒙特卡罗算法又称统计模拟法、随机抽样技术,是一种随机模拟方法,以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法,是使用随机数来解决很多计算问题的方法。

引例

举个栗子,现在有这么一个问题:给定曲线y =2 – x2 和曲线y3 = x2曲线的交点为P1( – 1,1 )、P2( 1,1 )曲线围成平面有限区域,请计算区域面积。

这个时候,你所想的方法是什么呢?

或许你想到的是微积分,但在这里我想告诉你一种概率论的思想,用蒙特卡罗方法来解决这种问题

我们可以知道,两条曲线所包围的区域是处在一个平面上的,该平面的面积为2,定义域x的取值是(-1,1),y的取值是(0,2)

现在我们可以假设一种场景,向这个平面撒足够多的豆子,豆子落在这个平面内的每一个位置的概率都相等,豆子落在曲线包围的区域内我们记为S1,落在外面则记为S2,在豆子数量足够多的时候,就会有如下的情况,如图所示:

蒙特卡罗算法

 

 代码实现(MATLAB)

%蒙特卡罗算法
clear all
clc

P = rand(10000,2);
x1 = 2*P(:,1) - 1;
y1 = 2*P(:,2);
flag1 = find(y1<=2-x1.^2 & y1.^3>=x1.^2);
M1 = length(flag1);
S = 4*M1/10000;
figure(1)
plot(x1(flag1),y1(flag1),'r')

代码实现起来其实非常简单,这种思想相对比较容易,最后所得出的结果也比较精确。

蒙特卡罗算法

 

算法优缺点

优点:

1、能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程

2、受几何条件限制小

3、收敛速度与时间的维度无关

4、具有同时计算多个方案与多个未知量的能力

5、误差容易确定

6、程序简单,易于实现

缺点:

1、收敛速度慢

2、误差具有概率性

3、在粒子运输问题中,计算结果与系统大小有关

巩固

比如现在有这么一个例子:计算蒙特卡罗算法其中Dy= x – 2y2 = x 所围D的边界曲线交点为(–11)(42)被积函数在求积区域内的最大值为16。积分值是三维体积,该三维图形位于立方体区域内,立方体区域的体积为192。(0≤ x ≤4–1≤ y ≤20 ≤ z ≤16)

蒙特卡罗算法

 代码实现:

clear all
clc

data=rand(10000,3);
x=4*data(:,1);
y=-1+3*data(:,2);
z=16*data(:,3);
II=find(x>=y.^2&x<=y+2&z<=x.*(y.^2));
M=length(II);
V=192*M/10000

方法很简单,希望以上的内容对你有所帮助,感谢观看!

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