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1447. 最简分数

题目

给你一个整数 n ，请你返回所有 0 到 1 之间（不包括 0 和 1）满足分母小于等于  n 的 最简 分数 。分数可以以 任意 顺序返回。

示例

示例 1：
输入：n = 2
输出：["1/2"]
解释："1/2" 是唯一一个分母小于等于 2 的最简分数。

示例 2：
输入：n = 3
输出：["1/2","1/3","2/3"]

示例 3：
输入：n = 4
输出：["1/2","1/3","1/4","2/3","3/4"]
解释："2/4" 不是最简分数，因为它可以化简为 "1/2" 。

示例 4：
输入：n = 1
输出：[]

提示

• 1 <= n <= 100

思路

• 由于1<=n<=100，分母≤n，数值范围为(0,1)，最多约有100*100=1w种情况，所以我们可以用暴力法枚举分母和分子直接求解。
• 首先当n=0,1,时，不存在解。
• 当n≥2时，对于每个n，枚举2-n之间的分母，对于分子，当分子为1时必然成立，然而枚举分子为[2,n-1]之间的数，对分子和分母进行最大公约数判断，如果最大公约数为1，则说明无法约分，将这种情况保存，否则不符合条件。

那么怎么求最大公约数呢？（即怎么判断两个数互质）

欧几里得算法（辗转相除法）

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)  // a和b的最大公因数，a和b的大小没影响。

①0和任意自然数的最大公约数就是那个自然数。

②互质指最大公约数等于1的两个自然数。

③1和任意数互质。

判断是否互质代码如下：（如果求最大公因数，输出b即可）

C++ Code

class Solution {
public:
    int gcd(int m, int n)
    {
        while(m>0)
        {
            int c = n % m;
            n = m;
            m = c;
        }
        return n;
    }//最大公约数n为1时两数互质
    
    vector<string> simplifiedFractions(int n) 
    {
        vector<string> S;
        if(n<=1) return S;
        for(int i=2;i<=n;i++) //分母
        {
            string temp= "1/"+to_string(i);
            S.push_back(temp);
            for(int j=2;j<i;j++) //分子
            {
                if(gcd(i,j)==1)
                {
                    temp=to_string(j)+"/"+to_string(i);
                    S.push_back(temp);
                }
            }
        }
        return S;

    }
};

C++ Code(简便写法)

class Solution {
public:
    int gcd(int a, int b) {
        return b ? gcd(b, a%b) : a;
    }

    vector<string> simplifiedFractions(int n) {
        vector<string> ans;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                if (gcd(i, j) != 1) continue ;
                ans.push_back(to_string(i) + "/" + to_string(j));
            }
        }
        return ans;
    }
};