写一个函数,输入 n
,求斐波那契(Fibonacci)数列的第 n
项(即 F(N)
)。斐波那契数列的定义如下:
F(0) = 0, F(1) = 1 F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始,之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回 1。
示例 1:
输入:n = 2 输出:1
示例 2:
输入:n = 5 输出:5
提示:
0 <= n <= 100
解题思路:
斐波那契数列的定义是f(n + 1) = f(n) + f(n - 1),生成第n项的做法有以下几种:
1、递归法:
原理:把f(n)问题的计算拆分成f(n - 1) 和f(n - 2)两个子问题的计算,并递归,以f(0) 和 f(1) 为终止条件。
缺点:大量重复的递归计算。
2、循环求余法:
大数越界: 随着 nn 增大, f(n)f(n) 会超过
Int32
甚至Int64
的取值范围,导致最终的返回值错误。
- 求余运算规则: 设正整数 x, y,p ,求余符号为 ⊙ ,则有 (x + y) ⊙ p = (x ⊙ p + y ⊙ p) ⊙ p 。
- 解析: 根据以上规则,可推出 f(n) ⊙ p = [f(n-1) ⊙ p + f(n-2) ⊙ p] ⊙ p,从而可以在循环过程中每次计算 sum = (a + b) ⊙ 1000000007,此操作与最终返回前取余等价。
复杂度分析:
- 时间复杂度 O(n) : 计算 f(n) 需循环 n 次,每轮循环内计算操作使用 O(1)。
- 空间复杂度 O(1) : 几个标志变量使用常数大小的额外空间。
package Algriothm; public class Fibonacci { public static void main(String[] args) { System.out.println(fib1(48)); } public static int fib(int n) { if (n == 0) { return 0; } if (n == 1) { return 1; } return fib(n - 1) + fib(n - 2); } public static int fib1(int n) { int a = 0, b = 1, sum; for (int i = 0; i < n; i++) { sum = (a + b) % 1000000007; a = b; b = sum; } return a; } }