绪论：初识机器学习

2021-11-27 03:20:53

引言(Introduction)
1 Welcome
2 什么是机器学习(What is Machine Learning)
3 监督学习(Supervised Learning)
4 无监督学习(Unsupervised Learning)
单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)
1 模型表示(Model Representation)
2 代价函数(Cost Function)
3 代价函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)
4 代价函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)
5 梯度下降(Gradient Descent)
6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)
7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)
Linear Algebra Review
1 Matrices and Vectors
2 Addition and Scalar Multiplication
3 Matrix Vector Multiplication
4 Matrix Matrix Multiplication
5 Matrix Multiplication Properties
6 Inverse and Transpose

1. 引言(Introduction)

1.1 Welcome

随着互联网数据不断累积，硬件不断升级迭代，在这个信息爆炸的时代，机器学习已被应用在各行各业中，可谓无处不在。

一些常见的机器学习的应用，例如：

手写识别
垃圾邮件分类
搜索引擎
图像处理
…

使用到机器学习的一些案例：

数据挖掘
网页点击流数据分析

人工无法处理的工作(量大)
手写识别
计算机视觉

个人定制
推荐系统

研究大脑
……

1.2 什么是机器学习(What is Machine Learning)

机器学习定义这里主要有两种定义：

Arthur Samuel (1959). Machine Learning: Field of study that gives computers the ability to learn without being explicitly programmed.
这个定义有点不正式但提出的时间最早，来自于一个懂得计算机编程的下棋菜鸟。他编写了一个程序，但没有显式地编程每一步该怎么走，而是让计算机自己和自己对弈，并不断地计算布局的好坏，来判断什么情况下获胜的概率高，从而积累经验，好似学习，最后，这个计算机程序成为了一个比他自己还厉害的棋手。
Tom Mitchell (1998) Well-posed Learning Problem: A computer program is said to learn from experience E with respect to some task T and some performance measure P, if its performance on T, as measured by P, improves with experience E.
Tom Mitchell 的定义更为现代和正式。在过滤垃圾邮件这个例子中，电子邮件系统会根据用户对电子邮件的标记（是/不是垃圾邮件）不断学习，从而提升过滤垃圾邮件的准确率，定义中的三个字母分别代表：
T(Task): 过滤垃圾邮件任务。
P(Performance): 电子邮件系统过滤垃圾邮件的准确率。
E(Experience): 用户对电子邮件的标记。

机器学习算法

主要有两种机器学习的算法分类

监督学习
无监督学习

两者的区别为是否需要人工参与数据结果的标注。这两部分的内容占比很大，并且很重要，掌握好了可以在以后的应用中节省大把大把的时间~
还有一些算法也属于机器学习领域，诸如：
半监督学习: 介于监督学习于无监督学习之间
推荐算法: 没错，就是那些个买完某商品后还推荐同款的某购物网站所用的算法。
强化学习: 通过观察来学习如何做出动作，每个动作都会对环境有所影响，而环境的反馈又可以引导该学习算法。
迁移学习

1.3 监督学习(Supervised Learning)

监督学习，即为教计算机如何去完成预测任务（有反馈），预先给一定数据量的输入和对应的结果即训练集，建模拟合，最后让计算机预测未知数据的结果。

监督学习一般有两种：

回归问题(Regression)

回归问题即为预测一系列的连续值。
在房屋价格预测的例子中，给出了一系列的房屋面基数据，根据这些数据来预测任意面积的房屋价格。给出照片-年龄数据集，预测给定照片的年龄。

分类问题(Classification)

分类问题即为预测一系列的离散值。
即根据数据预测被预测对象属于哪个分类。
视频中举了癌症肿瘤这个例子，针对诊断结果，分别分类为良性或恶性。还例如垃圾邮件分类问题，也同样属于监督学习中的分类问题。

视频中提到支持向量机这个算法，旨在解决当特征量很大的时候(特征即如癌症例子中的肿块大小，颜色，气味等各种特征)，计算机内存一定会不够用的情况。支持向量机能让计算机处理无限多个特征。

1.4 无监督学习(Unsupervised Learning)

相对于监督学习，训练集不会有人为标注的结果（无反馈），我们不会给出结果或无法得知训练集的结果是什么样，而是单纯由计算机通过无监督学习算法自行分析，从而“得出结果”。计算机可能会把特定的数据集归为几个不同的簇，故叫做聚类算法。

无监督学习一般分为两种：

聚类(Clustering)

新闻聚合
DNA 个体聚类
天文数据分析
市场细分
社交网络分析

非聚类(Non-clustering)

鸡尾酒问题

新闻聚合

在例如谷歌新闻这样的网站中，每天后台都会收集成千上万的新闻，然后将这些新闻分组成一个个的新闻专题，这样一个又一个聚类，就是应用了无监督学习的结果。

鸡尾酒问题

在鸡尾酒会上，大家说话声音彼此重叠，几乎很难分辨出面前的人说了什么。我们很难对于这个问题进行数据标注，而这里的通过机器学习的无监督学习算法，就可以将说话者的声音同背景音乐分离出来，看视频，效果还不错呢~~。

嗯，这块是打打鸡血的，只需要一行代码就解决了问题，就是这么简单！当然，我没复现过 ^_^……

神奇的一行代码： [W,s,v] = svd((repmat(sum(x.*x,1),size(x,1),1).*x)*x');

编程语言建议

在机器学习刚开始时，推荐使用 Octave 类的工程计算编程软件，因为在 C++ 或 Java 等编程语言中，编写对应的代码需要用到复杂的库以及要写大量的冗余代码，比较耗费时间，建议可以在学习过后再考虑使用其他语言来构建系统。 另外，在做原型搭建的时候也应该先考虑使用类似于 Octave 这种便于计算的编程软件，当其已经可以工作后，才将模型移植到其他的高级编程语言中。

注：Octave 与 MATLAB 语法相近，由于 MATLAB 为商业软件，课程中使用开源且免费的 Octave。

机器学习领域发展迅速，现在也可使用 Tensorflow 等开源机器学习框架编写机器学习代码，这些框架十分友好，易于编写及应用。

2 单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

2.1 模型表示(Model Representation)

房价预测训练集

Size in ()
Price ($) in 1000's()
2104
460
1416
232
1534
315
852
178
...
...

房价预测训练集中，同时给出了输入  和输出结果 ，即给出了人为标注的”正确结果“，且预测的量是连续的，属于监督学习中的回归问题。

问题解决模型

其中  代表结果函数，也称为假设(hypothesis) 。假设函数根据输入(房屋的面积)，给出预测结果输出(房屋的价格)，即是一个  的映射。

，为解决房价问题的一种可行表达式。

: 特征/输入变量。

上式中， 为参数， 的变化才决定了输出结果，不同以往，这里的  被我们视作已知(不论是数据集还是预测时的输入)，所以怎样解得  以更好地拟合数据，成了求解该问题的最终问题。

单变量，即只有一个特征(如例子中房屋的面积这个特征)。

2.2 代价函数(Cost Function)

李航《统计学习方法》一书中，损失函数与代价函数两者为同一概念，未作细分区别，全书没有和《深度学习》一书一样混用，而是统一使用损失函数来指代这类类似概念。

吴恩达(Andrew Ng)老师在其公开课中对两者做了细分。如果要听他的课做作业，不细分这两个概念是会被打小手扣分的！这也可能是因为老师发现了业内混用的乱象，想要治一治吧。

损失函数(Loss/Error Function): 计算单个训练集的误差

代价函数(Cost Function): 计算整个训练集所有损失函数之和的平均值

综合考虑，本笔记对两者概念进行细分，若有所谬误，欢迎指正。

机器学习中的目标函数、损失函数、代价函数有什么区别？- 知乎

我们的目的在于求解预测结果  最接近于实际结果  时  的取值，则问题可表达为求解  的最小值。

: 训练集中的样本总数

: 目标变量/输出变量

: 训练集中的实例

: 训练集中的第  个样本实例

上图展示了当  取不同值时， 对数据集的拟合情况，蓝色虚线部分代表建模误差（预测结果与实际结果之间的误差），我们的目标就是最小化所有误差之和。

为了求解最小值，引入代价函数(Cost Function)概念，用于度量建模误差。考虑到要计算最小值，应用二次函数对求和式建模，即应用统计学中的平方损失函数（最小二乘法）：

:  的预测值

系数  存在与否都不会影响结果，这里是为了在应用梯度下降时便于求解，平方的导数会抵消掉  。

讨论到这里，我们的问题就转化成了求解  的最小值。

2.3 代价函数 - 直观理解1(Cost Function - Intuition I)

根据上节视频，列出如下定义：

假设函数(Hypothesis):
参数(Parameters):
代价函数(Cost Function):
目标(Goal):

为了直观理解代价函数到底是在做什么，先假设 ，并假设训练集有三个数据，分别为，这样在平面坐标系中绘制出  ，并分析  的变化。

右图  随着  的变化而变化，可见当  时，，取得最小值，对应于左图青色直线，即函数  拟合程度最好的情况。

2.4 代价函数 - 直观理解2(Cost Function - Intuition II)

注：该部分由于涉及到了多变量成像，可能较难理解，要求只需要理解上节内容即可，该节如果不能较好理解可跳过。

给定数据集：

参数在  不恒为  时代价函数  关于  的3-D图像，图像中的高度为代价函数的值。

由于3-D图形不便于标注，所以将3-D图形转换为轮廓图(contour plot)，下面用轮廓图（下图中的右图）来作直观理解，其中相同颜色的一个圈代表着同一高度（同一  值）。

 时：

大概在  时：

上图中最中心的点（红点），近乎为图像中的最低点，也即代价函数的最小值，此时对应  对数据的拟合情况如左图所示，嗯，一看就拟合的很不错，预测应该比较精准啦。

2.5 梯度下降(Gradient Descent)

在特征量很大的情况下，即便是借用计算机来生成图像，人工的方法也很难读出  的最小值，并且大多数情况无法进行可视化，故引入梯度下降(Gradient Descent)方法，让计算机自动找出最小化代价函数时对应的  值。

梯度下降背后的思想是：开始时，我们随机选择一个参数组合即起始点，计算代价函数，然后寻找下一个能使得代价函数下降最多的参数组合。不断迭代，直到找到一个局部最小值(local minimum)，由于下降的情况只考虑当前参数组合周围的情况，所以无法确定当前的局部最小值是否就是全局最小值(global minimum)，不同的初始参数组合，可能会产生不同的局部最小值。

下图根据不同的起始点，产生了两个不同的局部最小值。

视频中举了下山的例子，即我们在山顶上的某个位置，为了下山，就不断地看一下周围下一步往哪走下山比较快，然后就迈出那一步，一直重复，直到我们到达山下的某一处陆地。

梯度下降公式：

$\begin{align*} & \text{repeat until convergence:} \; \lbrace \newline \; &{{\theta }_{j}}:={{\theta }_{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}}  \right) \newline \rbrace \end{align*}$

: 第  个特征参数

”:=“: 赋值操作符

: 学习速率(learning rate), 

:  的偏导

公式中，学习速率决定了参数值变化的速率即”走多少距离“，而偏导这部分决定了下降的方向即”下一步往哪里“走（当然实际上的走多少距离是由偏导值给出的，学习速率起到调整后决定的作用），收敛处的局部最小值又叫做极小值，即”陆地“。

注意，在计算时要批量更新  值，即如上图中的左图所示，否则结果上会有所出入，原因不做细究。

2.6 梯度下降直观理解(Gradient Descent Intuition)

该节探讨  的梯度下降更新过程，即 ，此处为了数学定义上的精确性，用的是 ，如果不熟悉微积分学，就把它视作之前的  即可。

把红点定为初始点，切于初始点的红色直线的斜率，表示了函数  在初始点处有正斜率，也就是说它有正导数，则根据梯度下降公式 ， 右边的结果是一个正值，即  会向左边移动。这样不断重复，直到收敛（达到局部最小值，即斜率为0）。

初始  值（初始点）是任意的，若初始点恰好就在极小值点处，梯度下降算法将什么也不做（）。

不熟悉斜率的话，就当斜率的值等于图中三角形的高度除以水平长度好啦，精确地求斜率的方法是求导。

对于学习速率 ，需要选取一个合适的值才能使得梯度下降算法运行良好。

学习速率过小图示：

收敛的太慢，需要更多次的迭代。
学习速率过大图示：

可能越过最低点，甚至导致无法收敛。

学习速率只需选定即可，不需要在运行梯度下降算法的时候进行动态改变，随着斜率越来越接近于0，代价函数的变化幅度会越来越小，直到收敛到局部极小值。

如图，品红色点为初始点，代价函数随着迭代的进行，变化的幅度越来越小。

最后，梯度下降不止可以用于线性回归中的代价函数，还通用于最小化其他的代价函数。

2.7 线性回归中的梯度下降(Gradient Descent For Linear Regression)

线性回归模型

梯度下降算法

$\begin{align*} & \text{repeat until convergence:} \; \lbrace \newline \; &{{\theta }_{j}}:={{\theta }_{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}} \right) \newline \rbrace \end{align*}$

直接将线性回归模型公式代入梯度下降公式可得出公式

当  时，线性回归中代价函数求导的推导过程：

所以当  时：

所以当  时：

上文中所提到的梯度下降，都为批量梯度下降(Batch Gradient Descent)，即每次计算都使用所有的数据集  更新。

由于线性回归函数呈现碗状，且只有一个全局的最优值，所以函数一定总会收敛到全局最小值（学习速率不可过大）。同时，函数  被称为凸二次函数，而线性回归函数求解最小值问题属于凸函数优化问题。

另外，使用循环求解，代码较为冗余，后面会讲到如何使用向量化(Vectorization)来简化代码并优化计算，使梯度下降运行的更快更好。

3 Linear Algebra Review

这部分，学过线性代数的可以复习一下，比较基础。笔记整理暂留。

3.1 Matrices and Vectors

Octave/Matlab 代码:

% The ; denotes we are going back to a new row.
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12]

% Initialize a vector 
v = [1;2;3] 

% Get the dimension of the matrix A where m = rows and n = columns
[m,n] = size(A)

% You could also store it this way
dim_A = size(A)

% Get the dimension of the vector v 
dim_v = size(v)

% Now let's index into the 2nd row 3rd column of matrix A
A_23 = A(2,3)

执行结果:

A =

    1    2    3
    4    5    6
    7    8    9
   10   11   12

v =

   1
   2
   3

m =  4
n =  3
dim_A =

   4   3

dim_v =

   3   1

A_23 =  6

3.2 Addition and Scalar Multiplication

Octave/Matlab 代码:

% Initialize matrix A and B 
A = [1, 2, 4; 5, 3, 2]
B = [1, 3, 4; 1, 1, 1]

% Initialize constant s 
s = 2

% See how element-wise addition works
add_AB = A + B 

% See how element-wise subtraction works
sub_AB = A - B

% See how scalar multiplication works
mult_As = A * s

% Divide A by s
div_As = A / s

% What happens if we have a Matrix + scalar?
add_As = A + s

执行结果:

A =

   1   2   4
   5   3   2

B =

   1   3   4
   1   1   1

s =  2
add_AB =

   2   5   8
   6   4   3

sub_AB =

   0  -1   0
   4   2   1

mult_As =

    2    4    8
   10    6    4

div_As =

   0.50000   1.00000   2.00000
   2.50000   1.50000   1.00000

add_As =

   3   4   6
   7   5   4

3.3 Matrix Vector Multiplication

Octave/Matlab 代码:

% Initialize matrix A 
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6;7, 8, 9] 

% Initialize vector v 
v = [1; 1; 1] 

% Multiply A * v
Av = A * v

执行结果:

3.4 Matrix Matrix Multiplication

Octave/Matlab 代码:

% Initialize a 3 by 2 matrix 
A = [1, 2; 3, 4;5, 6]

% Initialize a 2 by 1 matrix 
B = [1; 2] 

% We expect a resulting matrix of (3 by 2)*(2 by 1) = (3 by 1) 
mult_AB = A*B

% Make sure you understand why we got that result

执行结果:

3.5 Matrix Multiplication Properties

Octave/Matlab 代码:

% Initialize random matrices A and B 
A = [1,2;4,5]
B = [1,1;0,2]

% Initialize a 2 by 2 identity matrix
I = eye(2)

% The above notation is the same as I = [1,0;0,1]

% What happens when we multiply I*A ? 
IA = I*A 

% How about A*I ? 
AI = A*I 

% Compute A*B 
AB = A*B 

% Is it equal to B*A? 
BA = B*A 

% Note that IA = AI but AB != BA

执行结果:

A =

   1   2
   4   5

B =

   1   1
   0   2

I =

Diagonal Matrix

   1   0
   0   1

IA =

   1   2
   4   5

AI =

   1   2
   4   5

AB =

    1    5
    4   14

BA =

    5    7
    8   10

3.6 Inverse and Transpose

Octave/Matlab 代码:

% Initialize matrix A 
A = [1,2,0;0,5,6;7,0,9]

% Transpose A 
A_trans = A' 

% Take the inverse of A 
A_inv = inv(A)

% What is A^(-1)*A? 
A_invA = inv(A)*A

执行结果:

A = 
 
   1   2   0 
   0   5   6 
   7   0   9 
 
A_trans = 
 
   1   0   7 
   2   5   0 
   0   6   9 
 
A_inv = 
 
   0.348837  -0.139535   0.093023 
   0.325581   0.069767  -0.046512 
  -0.271318   0.108527   0.038760 
 
A_invA = 
 
   1.00000  -0.00000   0.00000 
   0.00000   1.00000  -0.00000 
  -0.00000   0.00000   1.00000 

码农公寓

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