最优三角剖分
与矩阵连乘的不同点
不同点就在于递归公式的不同，最优三角剖分的递归公式如下：
当i=j的时候，mi=0；
当i
图解示例
我们以一个凸多边形为例，其每条边的权重如下表所示
| g[][] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 | 3 | 1 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 0 | 3 | 4 | 8 | 6 |
| 2 | 3 | 3 | 0 | 10 | 13 | 7 |
| 3 | 1 | 4 | 10 | 0 | 12 | 5 |
| 4 | 5 | 8 | 13 | 12 | 0 | 3 |
| 5 | 6 | 6 | 7 | 5 | 3 | 0 |
（1）初始化：令mi=0，si=0
（2）计算赋值如下：
| m[][] | 1 | 2 |3 |4 |5|
| ------ | ------ | ------ | ------ | ------ | ------ |
|1| 0 |8|22|40|54|
|2| | 0|17|41|52|
|3|| |0 |35|42|
|4| | | | 0|20|
|5| | | | |0|3
| s[][] | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 |
| 2 | 0 | 2 | 3 | 3 | |
| 3 | 0 | 3 | 3 | ||
| 4 | 0 | 4 | |||
| 5 | 0 | ||||
所以最优权值为m1=54
（3）构造最优解。过程与矩阵快速相乘类似，都是根据s[][]对应的位置来分成子问题，所以首先是看到s1=3，所以分为了v0~ v3 和 v3~v5。
- 因为v0~v3中有结点，所以子问题1不为空，输出该弦v0v3；同理，输出v3v5。
- 对于子问题1进行递归，读取s1=2，因为v0~v2有结点，所以输出v0v2……
- 最后输出的最优解为v0v3,v3v5,v0v2。
代码实现
void Convexpolygontriangulation()
{
for(int i = 1 ;i <= n ; i++) // 初始化
{
m[i][i] = 0 ;
s[i][i] = 0 ;
}
for(int d = 2 ;d <= n ; d++) // 枚举点的个数
for(int i = 1 ;i <= n - d + 1 ; i++) // 枚举起始点
{
int j = i + d - 1 ; // 终点
m[i][j] = m[i+1][j] + g[i-1][i] + g[i][j] + g[i-1][j] ;
s[i][j] = i ;
for(int k = i + 1 ;k < j ; k++) // 枚举中间点
{
double temp = m[i][k] + m[k+1][j] + g[i-1][k] + g[k][j] + g[i-1][j] ;
if(m[i][j] > temp)
{
m[i][j] = temp ; // 更新最优值
s[i][j] = k ; // 记录中间点
}
}
}
}
void print(int i , int j) // 输出所有的弦
{
if(i == j) return ;
if(s[i][j]>i)
cout<<"{v"<<i-1<<"v"<<s[i][j]<<"}"<<endl;
if(j>s[i][j]+1)
cout<<"{v"<<s[i][j]<<"v"<<j<<"}"<<endl;
print(i ,s[i][j]);
print(s[i][j]+1 ,j);
//cout<<"{ v"<<i-1<<" , v"<<s[i][j]<<" , v"<<j<<" }"<<endl; //输出所有剖分后的三角形
}石子合并
递归公式：
设Mini代表从第i堆石子到第j堆石子合并的最小花费，Mini代表从第i堆石子到底k堆石子合并的最小花费，Mink+1代表从第k+1堆石子到第j堆石子合并的最小花费。那么递推式如下：
Mini=0,i=j
Mini=min{mi+mk+1+w(i,j)} i同理，设Maxi代表从第i堆石子到第j堆石子合并的最大花费，Maxi代表从第i堆石子到底k堆石子合并的最大花费，Maxk+1代表从第k+1堆石子到第j堆石子合并的最大花费。那么递推式如下：
Maxi=0,i=j
Maxi=max{mi+mk+1+w(i,j)} i
代码实现
void straight(int a[],int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++) // 初始化
Min[i][i]=0, Max[i][i]=0;
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
for(int v=2; v<=n; v++) // 枚举合并的堆数规模
{
for(int i=1; i<=n-v+1; i++) //枚举起始点i
{
int j = i + v-1; //枚举终点j
Min[i][j] = INF; //初始化为最大值
Max[i][j] = -1; //初始化为-1
int tmp = sum[j]-sum[i-1];//记录i...j之间的石子数之和
for(int k=i; k<j; k++) { //枚举中间分隔点
Min[i][j] = min(Min[i][j], Min[i][k] + Min[k+1][j] + tmp);
Max[i][j] = max(Max[i][j], Max[i][k] + Max[k+1][j] + tmp);
}
}
}
}
void Circular(int a[],int n)
{
for(int i=1;i<=n-1;i++)
a[n+i]=a[i];
n=2*n-1;
straight(a, n);
n=(n+1)/2;
min_Circular=Min[1][n];
max_Circular=Max[1][n];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(Min[i][n+i-1]<min_Circular)
min_Circular=Min[i][n+i-1];
if(Max[i][n+i-1]>max_Circular)
max_Circular=Max[i][n+i-1];
}
}时间复杂度为O(n3)
改进算法
最小值可以用四边形不等式来优化。
复杂度为O(n2)
void get_Min(int n)
{
for(int v=2; v<=n; v++) // 枚举合并的堆数规模
{
for(int i=1; i<=n-v+1; i++) //枚举起始点i
{
int j = i + v-1; //枚举终点j
int tmp = sum[j]-sum[i-1];//记录i...j之间的石子数之和
int i1=s[i][j-1]>i?s[i][j-1]:i;
int j1=s[i+1][j]<j?s[i+1][j]:j;
Min[i][j]=Min[i][i1]+Min[i1+1][j];
s[i][j]=i1;
for(int k=i1+1; k<=j1; k++) //枚举中间分隔点
if(Min[i][k]+ Min[k+1][j]<Min[i][j])
{
Min[i][j]=Min[i][k]+Min[k+1][j];
s[i][j]=k;
}
Min[i][j]+=tmp;
}
}
}
void get_Max(int n)
{
for(int v=2; v<=n; v++) // 枚举合并的堆数规模
{
for(int i=1; i<=n-v+1; i++) //枚举起始点i
{
int j = i + v-1; //枚举终点j
Max[i][j] = -1; //初始化为-1
int tmp = sum[j]-sum[i-1];//记录i...j之间的石子数之和
if(Max[i+1][j]>Max[i][j-1])
Max[i][j]=Max[i+1][j]+tmp;
else
Max[i][j]=Max[i][j-1]+tmp;
}
}
}
void straight(int a[],int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++) // 初始化
Min[i][i]=0, Max[i][i]=0, s[i][i]=0;
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
get_Min(n);
get_Max(n);
}
void Circular(int a[],int n)
{
for(int i=1;i<=n-1;i++)
a[n+i]=a[i];
n=2*n-1;
straight(a, n);
n=(n+1)/2;
min_Circular=Min[1][n];
max_Circular=Max[1][n];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(Min[i][n+i-1]<min_Circular)
min_Circular=Min[i][n+i-1];
if(Max[i][n+i-1]>max_Circular)
max_Circular=Max[i][n+i-1];
}
}