欧几里得算法
描述
\[\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b) \]证明
求证：
\[\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b) \]假设 \(a > b\) 且 \(b \nmid a\)，可描述：
\[a = bk + c \]其中 \(k\) 为商，\(c\) 为余数。
假设 \(\gcd(a, b) = u\)
\(a = xu, b = yu\)，显然 \(x\) 与 \(y\) 互素。
有
\[c = a - bk = xu - yuk = (x - yk)u \]由于 \(x, y, k\) 都是整数，可得 \(c \mid u\) 即 \(b\)，\(c\) 存在公因子 \(u\)。
由于 \(\gcd(a, b) = u\) 且现在已知 \(b = yu, c = (x - yk)u\)；
所以若 \(y \bot (x - yk)\)，则存在 \(\gcd(b, a \bmod b) = \gcd(a, b)\)。
先假设 \(y\) 与 \(x - yk\) 有一个公因子 \(q\)，且 \(q \neq 1\)；
可描述
则
\[x = qn + yk = qn + qmk = (n + mk)q \]与已知条件 \(y \bot (x - yk)\) 矛盾。
故 \(y\) 与 \(x - yk\) 互素。
所以
由于 \(a, b, a \bmod b\) 是非增的，所以我们也就得到了最大公约数的一个递归求法。
int gcd(int a, int b)
{
return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);
}