背包问题：
01背包问题：
朴素版：（二维数组）
状态表示： dp[i][j]：从前i个物品中选择且总体积不超过j的集合的最大价值，则dp[n][m]就是最终答案（n：物品数量，m：最大体积）
状态计算： dp[i][j] = max ( dp[i-1][j] , dp[i-1][j-vi]+wi ) // 由含i和不含i两个子集合计算而来（vi：物品体积，wi：物品价值）
核心代码：
int n, m; // n：物品数量, m：最大体积
int v[N], w[N], dp[N][M];
void keyCode()
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 0; j <= m; j++)
{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(v[i] >= j) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
}
}
空间优化版：（滚动数组，二维数组优化至一维）
状态表示：dp[j]：在外循环的第i层时，表示从前i个物品中选择且总体积不超过j的集合的最大价值，n层循环后，dp[m]就是最终答案
状态计算：dp[j] = max ( dp[j] , dp[j-vi]+wi ) // 由含i和不含i两个子集合计算而来
核心代码：
int n, m; // n：物品数量, m：最大体积
int v[N], w[N], dp[N];
void keyCode()
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
// 反向遍历, 否则dp[j-v[i]]可能为dp[i][j-v[i]](用更新后的值来更新导致出错）
for(int j = m; j >= v[i]; j--)
dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
}
完全背包问题：
朴素版：（二维数组）
状态表示：dp[i][j]：从前i个物品中选择且总体积不超过j的集合的最大价值，则dp[n][m]就是最终答案
状态计算：dp[i][j] = max ( dp[i-1][j] , dp[i][j-vi]+wi )
证明：dp[i][j] = max ( dp[i-1][j] , dp[i][j-vi]+wi , dp[i][j-2*vi]+2*wi , dp[i][j-3*vi]+3*wi , ...... ) .
dp[i][j-vi] = max ( dp[i-1][j-vi] , dp[i][j-2*vi]+wi , dp[i][j-3*vi]+2*wi , ...... ) .
Thus，dp[i][j-vi] + wi = max ( dp[i-1][j-vi]+wi , dp[i][j-2*vi]+2*wi , dp[i][j-3*vi]+3*wi , ...... ) .
Thus，dp[i][j] = max ( dp[i-1][j] , dp[i][j-vi]+wi ) .
核心代码：
int n, m; // n：物品数量, m：最大体积
int v[N], w[N], dp[N][M];
void keyCode()
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 0; j <= m; j++)
{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j >= v[i]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-v[i]] + w[i]);
}
}
空间优化版：（滚动数组，二维数组优化至一维）
状态表示：dp[j]：在外循环的第i层时，表示从前i个物品中选择且总体积不超过j的集合的最大价值，n层循环后，dp[m]就是最终答案
状态计算：dp[j] = max ( dp[j] , dp[j-vi]+wi ) // 由含i和不含i两个子集合计算而来
核心代码：
int n, m; // n：物品数量, m：最大体积
int v[N], w[N], dp[N];
void keyCode()
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
// 正向遍历, 使得dp[j-v[i]]为dp[i][j-v[i]]
for(int j = v[i]; j <= m; j++)
dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
}