CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。
CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。

(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。对应于该模板的接收信息见附件2。请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。

首先文章说明了探测器接受到的数值的计算公式，即：

接下来文章将附件一和二的数据描绘出来:

**文章说很明显可以看出图2是两部分叠加，但其实说实话笔者真的没有看出来是哪两个部分叠加…**但这不影响后面的解题。
由于圆具有良好的对称性，所以文章选择第一个测量角度的属于圆的投影的非零数据，得到一组探测信息D(i)，那么对于探测点i，其发出的射线与圆的圆形的距离为

其中deltad为探测器上的射线间距，d0为探测器位置相对偏置。那么第i条射线与圆相交后的弦长为：

在前文已经论述过，D和ρ应该具有某种对应关系f，文章假设他们呈线性关系：

使用最小二乘法对曲线进行拟合，求出各个参数的值为：

这这部分的作用是说明线性关系的合理性，所以这里的μ没啥用，在后面的分析过程中具体的μ要具体的去求。
下面开始正式的建立模型，前文已经论述，D和介质的长度有关，因此这个模型主要就是分析出各条射线与椭圆和圆相交的弦长。
首先建立坐标系：

在这问题中，标定模板是均匀介质，也就是说所有地方的吸收率相等，那么探测器获得的数值即与穿过的长度有关。那么在这一问题中，文章转化为某一方向的直线穿过标定模板的长度的求解。
写出坐标系中椭圆和圆的方程：

为了计算的简便，文章从一个特殊状态开始分析：

与椭圆的方程进行联立求解，可解出该直线与椭圆相交的弦长：

同理直线与圆相交的弦长：

由于在CT旋转的过程中，有些直线与椭圆和圆不一定有交点，所以引入了max函数

不过这是特殊情况，一般情况下原点的投影不在接收器中心，所以要引入修正，不过很显然，探测器方向的移动并不会带来投影长度的变化：

并且对于旋转中心坐标R，修正后有：

上述分析是建立在一条线上的，但在CT中探测器有512个X线组成，所以对于第i个发射器，它与假设其中心的偏移距离为：

引入增益系数，其实就是线下关系的斜率：

综合所有式子最终建立的模型为：

在模型求解部分，以均方差最小为目标函数，通过MATLAB求解：

当然以为数据量太大，文章用了一个所谓的“局部加权回归散点平滑法”，不是很懂：

最终得到了结果，并且发现均方根很小，几乎为0：

其实这一问带来的启发主要就是以下几点：
1.简化题目，就像这篇文章最后把接收器的数值简化成和弦长有关一样，避免了其他众多的因素；
2.以小见大，在这篇文章里，首先分析的是一个特殊情况，接着推广到一般情况，首先分析的是一条射线，再推广到512条直线。
(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。

问题二不是很理解论文是如何做的，讲的也不是很清楚，公式挺唬人的：

(3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。
问题三与问题二差别不大：

(4) 分析(1)中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。
一个开放性的题目：
过于复杂，很难看懂








最后也点评一下当年的题目吧：好怪。