为什么使用梯度下降法

      我们使用梯度下降法最小化目标函数J(θ)。在使用梯度下降法时，首先初始化参数值，然后一直改变这些值，直到得到全局最小值。其中，我们计算在每次迭代时计算代价函数的导数，然后使用如下公式同时更新参数值：

α表示学习速率（learning rate）。

在本文中，考虑使用线性回归（linear regression）作为算法实例，当然梯度下降法也可以应用到其他算法，如逻辑斯蒂回归（Logistic regression）和 神经网络（Neural networks）。在线性回归中，我们使用如下拟合函数（hypothesis function）:

其中， 是参数， 是输入特征。为了求解线性回归模型，需要找到合适的参数使拟合函数能够更好地适合模型，然后使用梯度下降最小化代价函数J(θ)。

代价函数(普通的最小平方差，ordinary least square error)如下所示：

代价函数的梯度（Gradient of Cost function）：

参数与代价函数关系如下图所示：

梯度下降法的工作原理

梯度下降法的类型

基于如何使用数据计算代价函数的导数，梯度下降法可以被定义为不同的形式（various variants）。确切地说，根据使用数据量的大小（the amount of data），时间复杂度（time complexity）和算法的准确率（accuracy of the algorithm），梯度下降法可分为：

1.       批量梯度下降法（Batch Gradient Descent, BGD）；

2.       随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent, SGD）；

3.       小批量梯度下降法（Mini-Batch Gradient Descent, MBGD）。

批量梯度下降法原理

      这是梯度下降法的基本类型，这种方法使用整个数据集（the complete dataset）去计算代价函数的梯度。每次使用全部数据计算梯度去更新参数，批量梯度下降法会很慢，并且很难处理不能载入内存（don’t fit in memory）的数据集。在随机初始化参数后，按如下方式计算代价函数的梯度：

其中，m是训练样本（training examples）的数量。

Note:

     1. 如果训练集有3亿条数据，你需要从硬盘读取全部数据到内存中；

     2. 每次一次计算完求和后，就进行参数更新；

     3.  然后重复上面每一步；

     4. 这意味着需要较长的时间才能收敛；

     5. 特别是因为磁盘输入/输出（disk I/O）是系统典型瓶颈，所以这种方法会不可避免地需要大量的读取。

上图是每次迭代后的等高线图，每个不同颜色的线表示代价函数不同的值。运用梯度下降会快速收敛到圆心，即唯一的一个全局最小值。

批量梯度下降法不适合大数据集。下面的Python代码实现了批量梯度下降法：

1.	import numpy as np  
2.	import random  
3.	def gradient_descent(alpha, x, y, ep=0.0001, max_iter=10000):  
4.	    converged = False  
5.	    iter = 0  
6.	    m = x.shape[0] # number of samples  
7.	  
8.	    # initial theta  
9.	    t0 = np.random.random(x.shape[1])  
10.	    t1 = np.random.random(x.shape[1])  
11.	  
12.	    # total error, J(theta)  
13.	    J = sum([(t0 + t1*x[i] - y[i])**2 for i in range(m)])  
14.	  
15.	    # Iterate Loop  
16.	    while not converged:  
17.	        # for each training sample, compute the gradient (d/d_theta j(theta))  
18.	        grad0 = 1.0/m * sum([(t0 + t1*x[i] - y[i]) for i in range(m)])   
19.	        grad1 = 1.0/m * sum([(t0 + t1*x[i] - y[i])*x[i] for i in range(m)])  
20.	        # update the theta_temp  
21.	        temp0 = t0 - alpha * grad0  
22.	        temp1 = t1 - alpha * grad1  
23.	      
24.	        # update theta  
25.	        t0 = temp0  
26.	        t1 = temp1  
27.	  
28.	        # mean squared error  
29.	        e = sum( [ (t0 + t1*x[i] - y[i])**2 for i in range(m)] )   
30.	  
31.	        if abs(J-e) <= ep:  
32.	            print 'Converged, iterations: ', iter, '!!!'  
33.	            converged = True  
34.	      
35.	        J = e   # update error   
36.	        iter += 1  # update iter  
37.	      
38.	        if iter == max_iter:  
39.	            print 'Max interactions exceeded!'  
40.	            converged = True  
41.	  
42.	    return t0,t1 

随机梯度下降法原理