__GMM__(Gaussian Mixture Model, 高斯混合模型)是指该算法由多个高斯模型线性叠加混合而成。每个高斯模型称之为component。
__GMM算法__描述的是数据的本身存在的一种分布，即样本特征属性的分布，和预测值Y无关。显然GMM算法是无监督的算法，常用于聚类应用中，component的个数就可以认为是类别的数量。
回到昨天说的例子：随机选择1000名用户，测量用户的身高；若样本中存在男性和女性，身高分别服从高斯分布N(μ1,σ1)和N(μ2,σ2)的分布，试估计参数:μ1,σ1,μ2,σ2；
1、如果明确的知道样本的情况(即男性和女性数据是分开的)，那么我们使用极大似然估计来估计这个参数值。
2、如果样本是混合而成的，不能明确的区分开，那么就没法直接使用极大似然估计来进行参数的估计。
我们可以认为当前的1000条数据组成的集X，是由两个高斯分布叠加而成的(男性的分布和女性的分布)。
如果能找到一种办法把每一个高斯分布对应的参数π、 μ、σ求出来，那么对应的模型就求解出来了。
如果模型求解出来后，如何对数据进行聚类？
这个公式求出来的分别是男性和女性身高分布的概率密度，如果把π、 μ、σ都求出来，以后我们可以构建出一个__能够根据样本特征__计算出样本属于男性或女性的可能性。
实际做样本分类的时候，我们把样本X的特征x1~xn分别代入两个公式中，求出来的两个结果分别是：样本X的性别是男、是女的可能性。如果是男的可能性大于是女的可能性，我们就把样本X归入男性的分类。
假定__GMM__由k个Gaussian分布线性叠加而成，那么概率密度函数如下：
分析第1个等式：
p(x)： 概率密度函数，k个Gaussian分布线性叠加而成的概率密度函数。
∑p(k)p(x|k)： k个某种模型叠加的概率密度函数。
p(k)： 每个模型占的权重，即上面提到的π。
p(x|k)： 给定类别k后，对应的x的概率密度函数。
__分析第2个等式：__目标 - 将公式写成高斯分布的样子。
__πk：__即p(k)
__p(x;μk,∑k)：__多元高斯(正态)分布。有了观测数据x后，在__给定了条件__下的高斯分布。这个__条件__是__1、第k个分类的均值μk__; __2、第k个分类的方差∑k__;
深入分析p(x;μk,∑k)的参数：
如果样本有n个特征，所有的特征x1~xn一起服从一个多元的高斯分布(正态分布)，所有特征的均值应该是一个向量 (μ1~μn)；
μk： 第k个分类的情况下(第k个高斯分布的情况下对应的每一列的均值)；μk = (μk1~μkn)
∑k： 协方差矩阵(对称阵)。现在有n个特征，协方差矩阵是一个n×n的矩阵。现在我们要算的是：
cov(x1,x1)，cov(x1,x2)，...，cov(x1,xn)
cov(x2,x1)，cov(x2,x2)，...，cov(x2,xn)
....
cov(xn,x1)，cov(x1,x2)，...，cov(xn,xn)
其中，__对角线__ cov(x1,x1)、cov(x2,x2)， ... ，cov(xn,xn)中，x1和x1的协方差 = x1的方差；即cov(x1,x1) = var(x1)；所以__对角线上两个特征的协方差 = 对应的特征的方差。__
__协方差__（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。
协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
理解了公式后，再来看看公式在图像上是如何体现的：
如果样本X只有一个特征x1，在二维的坐标系上的表示出来。特征x1是由n个单变量样本的高斯分布叠加而成的。向量x1k = ∑k (x1(1),x1(2),~,x1(n))，如k=(男、女)，累加男性分类下的特征高斯分布和女性分类下的高斯分布；
图中__红色曲线__表示原有数据的分布情况，我认为这个原有数据是由多个比较的高斯分布叠加而成的，__蓝色曲线__ 表示单个单个高斯分布的分布情况。向量x1 = (x1(1),x1(2),~,x1(n))；
PS： 蓝1+蓝2=红 体现的就是公式 p(x) = ∑πp(x;μ,∑k)；
在得知数据的特征 x=(x1~xn) 后，如果我们想把数据合理得聚类到一个分类中，我们该如何去计算呢？
既然我已经得到了k个高斯分布对应的概率密度函数(现在设k=3，共3个分类)，将当前特征的x=(x1~xn)代入我们的概率密度函数： p(x) = ∑πp(x;μ,∑k)；
我们分别计算p(蓝1)、p(蓝2)、p(蓝3)，蓝色三条线各对应k分类中的一个，哪个数大，我认为当前的样本该分到哪一类。
GMM算法的两个前提：
1、数据服从高斯分布；
2、我们人为定义了分类个数k。
基于这两个前提，问题递进：
问：我们人为假定了高斯分布的分类个数k，就类似于我们聚簇时分的聚簇中心个数一样。参数π、μ、σ该如何求出来?
答：和K-Means算法一样，我们可以用__EM算法__来求解这个问题。 GMM也满足EM算法的聚类思想，首先人为得定义了聚类的个数k，从数据特征X中发掘潜在关系的一种模型。而且我还默认数据是服从多个高斯分布的。
GMM算法中的隐含条件是：第k个模型占的权重 - $color{red}{π}$、 第k个高斯分布的情况下对应的每一列的均值 - $color{red}{μ}$、协方差矩阵 cov(xi,xj) - $color{red}{∑k}$；因为本质上我们是知道数据原有的分类状况的，只是无法观测到隐含在数据中的这些特性，使用EM的思想可以迭代得求解出这些隐含变量。
对联合概率密度函数求对数似然函数：
对联合概率密度函数求对数后，原本__连乘__的最大似然估计变成了__连加__的函数状态。
EM算法求解 - E步：
套用公式后，我们可以假定隐含变量z的分布：Q(z(i) = j)；
我们认为分布wj(i) = 第i个观测值对应的隐含分类第z(i)类； = 以(看不见的参数π、μ、∑)为参数的情况下，输入第i观测值的特征x后得到的分类z(i)类；
EM算法求解 - M步：
M步第1行就是上一章通过化简找到__下界__的那个函数：
如果要分别求解三个未知变量， 则需要对每一个未知变量求偏导。
1、对均值求偏导:
2、对方差求偏导:
3、对概率使用拉格朗日乘子法求解:
$color{red}{本章最重要的是记住下面的内容：}$