USACO 2015 January S 题解

2015 January S

P3114 [USACO15JAN]Stampede S

本题和区间覆盖有点类似,每头牛所对应的区间就是这头牛能被看到的时间

区间以 \(y\)​ 坐标进行降序排序,直接区间覆盖即可

注意,本题必须用左闭右开区间存储,因为在结束的那一刻是看不见的(已经离开了)

为了存储这些区间,我们采用离散化的方式存储(主要是离散化后可以暴力覆盖)

代码:

#include <map>
#include <set>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5e4+7;

struct node {
	int b,e,y;
	inline bool operator < (const node &p) const {
		return y>p.y;
	}
}a[N];

map<ll,int> h;

set<ll> s;
set<int> ans;

int vis[N<<2];

int n,cnt;

signed main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		ll x,y,r;
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&r);
		a[i]={(-x-1)*r,(-x-1)*r+r-1,y}; // 建立区间
		s.insert(a[i].b),s.insert(a[i].e),s.insert(a[i].e+1);
	}
	for(set<ll>::iterator it=s.begin();it!=s.end();++it)
		h[*it]=++cnt; // 离散化
	sort(a+1,a+1+n); // 以 y 坐标进行降序排序
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		a[i].b=h[a[i].b],a[i].e=h[a[i].e];
		for(int j=a[i].b;j<=a[i].e;++j)
			vis[j]=i; // 暴力覆盖
	}
	for(int i=0;i<(N<<2);++i)
		ans.insert(vis[i]); // 判断有多少头牛可以被看见
	printf("%d",ans.size()-1); // -1 是因为把看不到牛的时间点也算进去了
    return 0;
}

P3115 [USACO15JAN]Cow Routing S

对每条航线进行建边处理,同时记录两个城市之间的城市数,然后跑最短路即可

注意,本题由于边数比较多,建议用邻接矩阵存储

代码:

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll inf_ll=1e16;
const int inf_int=0x3f3f3f3f;
const int N=1e3+7;

struct node {
	ll w;
	int num,u;
	inline bool operator < (const node &y) const {
		return w>y.w || (w==y.w && num>y.num);
	}
};

vector<int> plane;

pair<ll,int> edge[N][N];
ll dis[N];
int pre[N];

int s,e,n;

inline void Dijkstra(int s) {
    priority_queue<node> q;
    for(int i=1;i<N;++i)
    	dis[i]=inf_ll,pre[i]=-1;
    dis[s]=0,pre[s]=0;
    q.push({0,0,s});
    while(!q.empty()) {
        node c=q.top();
        q.pop();
        if(c.w!=dis[c.u] || c.num!=pre[c.u])
            continue;
        int u=c.u;
        for(int v=1,num;v<N;++v) {
           	ll w=edge[u][v].first;
           	num=edge[u][v].second;
            if(dis[v]>dis[u]+w || (dis[v]==dis[u]+w && pre[v]>pre[u]+num) ) {
                dis[v]=dis[u]+w;
                pre[v]=pre[u]+num;
                q.push({dis[v],pre[v],v});
            }
        }
    }
}

signed main() {
	scanf("%d%d%d",&s,&e,&n);
	for(int i=1;i<N;++i)
		for(int j=1;j<N;++j)
			edge[i][j]={inf_ll,inf_int};
	for(int i=1,num;i<=n;++i) {
		ll price;
		scanf("%lld%d",&price,&num);
		plane.clear();
		for(int v;num;--num) {
			scanf("%d",&v);
			for(int j=0,u;j<plane.size();++j) {
				u=plane[j];
				if(edge[u][v].first>price)
					edge[u][v]={price,plane.size()-j}; // 当前点到 u 经过这条航线要经过 plane.size()-j 个点
				else if(edge[u][v].first==price && edge[u][v].second>plane.size()-j)
					edge[u][v]={price,plane.size()-j};
			}
			plane.push_back(v);
		}
	}
	Dijkstra(s);
	if(pre[e]==-1)
		puts("-1 -1");
	else
		printf("%lld %d",dis[e],pre[e]);
    return 0;
}

P3116 [USACO15JAN]Meeting Time S

先考虑暴力

设 \(b_{i,j}\)​ 为 \(\tt{Bessie}\)​​ 能否用 \(j\) 的使时间到达第 \(i\)​​ 个点, \(e_{i,j}\)​​​ 为 \(\tt{Elesie}\)​​​​ 能否用 \(j\)​​ 的使时间到达第 \(i\)​​​ 个点

我们通过广搜遍历每一个点(此题为有向无环图),状态转移方程为:

\[b_{v,i+w1}|=b_{u,i} \\ e_{v,i+w2}|=e_{u,i} \]

可以拿到部分分数

考虑优化,暴力的主要缺点是转移完时候可能还有路径到达这个点,造成多次计算

那我们可不可以先把所有可以到达这个点的路径全部遍历完再转移,显然,我们可以用拓扑排序实现

代码如下:

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int N=1e2+7;

struct node {
	int v,w1,w2;
};

vector<node> edge[N];

queue<int> q;

bool bessie[N][N*N],elsie[N][N*N];
int indeg[N];

int n,m;

inline void TopoSort() {
	bessie[1][0]=elsie[1][0]=true;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(!indeg[i])
			q.push(i);
	while(!q.empty()) {
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=0,v,w1,w2;i<edge[u].size();++i) {
			v=edge[u][i].v;
			w1=edge[u][i].w1,w2=edge[u][i].w2;
			
			for(int i=0;i+w1<N*N;++i)
				bessie[v][i+w1]|=bessie[u][i]; 
			for(int i=0;i+w2<N*N;++i)
				elsie[v][i+w2]|=elsie[u][i]; // 状态转移
				
			--indeg[v];
			if(!indeg[v])
				q.push(v);
		}
	}
}

signed main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,u,v,w1,w2;i<=m;++i) {
		scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&w1,&w2);
		edge[u].push_back({v,w1,w2});
		++indeg[v];
	}
	TopoSort();
	for(int i=0;i<N*N;++i)
		if(bessie[n][i] && elsie[n][i])
			return printf("%d",i),0;
	puts("IMPOSSIBLE");
    return 0;
}
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