洛谷 P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

2023-10-21 19:25:04

刷一刷数论的题，这才知道有扩展欧几里得算法这个东西（扩欧）。虽然还不知道欧几里得算法是什么，就一步步来看。

欧几里得算法，在《整除与剩余》板块找到了。

求两个数a，b的最大公约数。（哦豁，原来欧几里得算法就是求最大公约数的算法，幻想的太高大上了）。

接口：
int gcd(int a,int b);
复杂度 O(logN)，N和a，b同阶
输入：a，b 两个整数
输出：a，b的最大公约数

代码：

int gcd(int a,int b){
	return b == 0? a :gcd(b, a % b);
}

从欧几里得算法还引出一个叫做贝祖定理的东西，看起来就像欧几里得算法的前身，不过通过计算机更容易实现a%b的操作。贝祖定理是这样说的：

gcd(a,b) = gcd(b,a-b),其中a≥b。如此不断迭代，直到b=0，a就是原来数对的最大公约数。把a减b减到不能减为止，在计算机上直接表示为 a mod b就好。

看完贝祖定理的描述，想起了开始学习C语言时使用的辗转相除法：

代码：

//余数rem,数对a, b
int gcd(int a,int b){
	while(b>0){
		rem = a % b;
		a = b;
		b = rem;
	}
	return a;
}

从辗转相除和贝祖定理，到欧几里得算法，形式变得越来越简单，性能变得越来越强大（竖大拇指）。

记小本本了：

//欧几里得算法：求a，b的最大公约数
int gcd(int a,int b){
	return b == 0? a :gcd(b, a % b);
}

写这么多，还没说题呢。

此题要使用扩展欧几里得算法，？？？好像，好像还没有说扩展欧几里得算法。。。继续说叭。

扩展欧几里得算法

用于求A，B的最大公约数，且求出X，Y满足AX+BY=GCD(A，B)
看得出来，多了点东西，嗯，有意思：

AX+BY=GCD(A，B)
让我们看看这个东西怎么理解。

刚刚说过求最大公约数gcd：

int gcd(int a,int b){
	return b == 0? a :gcd(b, a % b);
}

我们知道，A和A是两个非负整数，每次调用函数A用B替换，B用A%B替换，有两种情况。

第一种情况，B=0了，B==0，return返回值就是A了。
左边成了AX，右边GCD(A，B)就是A。

显而易见，X=1，Y=0（此时Y是任何数都没有影响了，因为B是0,0乘任何数都是0，代码中，当B=0时，更改Y的值结果不变）

第二种情况，B>0，我们已经讲了GCD(A, B) = GCD(B,A mod B)
A可以替换为B，B可以替换为A%B，然后把前面也替换一下看看。

BX’ + (A mod B)Y’ = GCD(B, A mod B) = GCD(A, B)

其中X’是变换后的原来X位置的值，Y’是变换后的原来Y位置的值。

结合一点点数学知识，和C语言的向下取整，把A mod B 变一下形式。

A%B = （A - A/B × B）Y’ ，展开：

AY’ + BX’ - (A/B) × BY’ = GCD(A, B)，提取一下B：

AY’ + B(X’ - A/B × Y’) = GCD(A, B)

与原式子对比一下：AX+BY=GCD(A，B)

能得出来：

AY’ + B(X’ - A/B × Y’) = AX+BY，成！

X = Y’, Y = X’ - A/B × Y’，爽！

接下来代码造出来：

void exgcd(int a,int b){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return;
	}	
	exgcd(b, a%b);
	k = x;
	x = y;
	y = k - x*(a/b);
	return;
}

接口：
void exgcd(int a,int b);
复杂度：O(logN)， N与a，b同阶。
输入：a，b 两个整数。
输出：x就为满足条件 ax ≡ 1（mod b）的a的乘数。

如此，扩展欧几里得算法：

继续记小本本：

//扩展欧几里得算法
void exgcd(int a,int b){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return;
	}	
	exgcd(b, a%b);
	k = x;
	x = y;
	y = k - x*(a/b);
	return;
}

诶！ax ≡ 1（mod b）这是个啥。继续下去。

这个柿子（式子）的意思是a，b已知，求x，满足（a*x）%b = 1

x 有个自己的名字乘法逆元。

（终于离题目近了一点）

继续套娃：乘法逆元又是个啥：

离散数学上有概念：存在群G，中有元素a，e为单位元。
满足 a’ × a = a × a’ = e，a’为逆元。
（其中单位元e是：a×e = a）在实数中任何数乘1得他本身，所以1是单位元。）

看题吧，x的同余方程 ax≡ 1 （mod b），求最小整数解。

这不是求乘法逆元吗？

安排：

#include<iostream>

typedef long long ll;
using namespace std;

ll x ,y;
//扩展欧几里得算法求乘法逆元
void exgcd(ll a,ll b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	ll tx = x;
	x = y;
	y = tx - a/b * y;
}

int main()
{
	ll a,b;
	cin >> a >> b;
	exgcd(a,b);
	x = (x%b+b)%b;
	cout << x;
	return 0;
}

end！

码农公寓

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