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题目

https://atcoder.jp/contests/agc054/tasks/agc054_b

思路

怎么看,这题应该要DP,但是描述一个状态是很大问题:你怎么知道选了哪些橙子(共有\(2^{100}\)种情况)?

经过一番漫长的思考后,师父,我悟了!

其实,并不用描述选了哪些橙子,题目的关键就在排列\(P\)和那两人拿橘子的顺序是一一对应的,比如说,Takahashi 依次取了1,5,2号橙子,Aoki依次取了4,3号橙子,那么,有且仅有一个\(P\)和这种情况对应,且该\(P\)只对应这种情况(用心体会下)

这样,问题就简单多了,设\(f_i\)表示拿了\(i\)个橙子,且它们的重量和恰好等于所有橙子重量和的一半,的方案数.答案就应该是(别忘了取模):

\[ans=\sum^n_{i=1}f_i\cdot i!\cdot (n-i)! \]

\(i!\)是其中一个人拿橙子的顺序的方案数,\((n-i)!\)就是另一个人拿橙子的顺序的方案数

如何得到\(f\)?

DP:\(f_{i,j}\)表示拿了\(i\)个橙子,总重量为\(j\)的方案数,过程有点像背包问题,应该都会了吧

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define N 110
#define ll long long
#define mod 998244353ll
ll f[N][10010];
ll n , w[N] , sumw;
ll fac[N];

int main() {
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1 ; i <= 100 ; i++)
		fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
	
	cin >> n;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
		cin >> w[i];
		sumw += w[i];
	}
	if(sumw % 2 == 1) {
		cout << 0;
		return 0;
	}
	
	f[0][0] = 1;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)//枚举第i个橙子
		for(int j = n ; j >= 0 ; j--)//一共j个橙子(除了i),注意倒叙枚举
			for(int k = sumw ; k >= 0 ; k--)//重量(除了i)
				f[j + 1][k + w[i]] += f[j][k],
				f[j + 1][k + w[i]] %= mod;
	
	ll ans = 0;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)//求答案
		ans = (ans + fac[i] * fac[n - i] % mod * f[i][sumw / 2] % mod) % mod;
	
	cout << ans << endl;
	return 0;
}