1.巴什博奕（Bash
Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规
定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，
后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果
n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走
k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的
取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十
个，谁能报到100者胜。
这个博弈很好理解,因为一次最多取m个,所以不论前者取得是几,后者一定可以取一个数构成m+1,所以胜负很好定.
2.威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同
时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk
,k=0，1，2，…,n)表示
两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们
称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，
10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有
如下三条性质：
(1)任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak
-1 + k-1 = bk-1 >
ak-1 。所以性质1。成立。
(2)任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其
他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由
于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
(3)采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了
奇异局势（0，0）；如果a =
ak ，b > bk，那么，取走b – bk个物体，即变为奇异局
势；如果 a = ak ， b < bk
,则同时从两堆中拿走 ak – ab – ak个物体,变为奇异局
势（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；如果a > ak
，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余
的数量a – ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j
< k）
,从第二堆里面拿走 b – bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – a
j 即可。
从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜
；反之，则后拿者取胜。
那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…,n
方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 =
1。618…,因此,由ak，bk组成的矩形近
似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[
j（1+√5）/2]，那么a
= aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1
+ j +
1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异
局势。
这个威佐夫博奕有点绕,每个奇异局势用(ak,bk)表示,性质一说的有点没看懂,首先为什么凭借前几个小的奇异局势就可以看出有序对(ak,bk)中的ak就是前面没有出现的自然数中最小的,觉得说的不太合理.如果说的紧紧凭借几个较小的bk=ak+k就可以确定的话有点说不过去.而且这个奇异局势说的也很突然...如果把性质一当成已知条件后面还能看懂.
性质二是用性质一证明的,"任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。"因为性质一说"任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中",那么一步操作就不可能将一个奇异局势转换成另一个奇异局势,每个特定的项的差值都是固定的,第k项差值为k,如果只从一堆里面取,那么另一个数没有变,而一个数不能同时在两个奇异局势中,所以这个局势必将是非奇异局势;如果从两个堆里面同时取相同的数,两者的差还是k,所以必然是一个非奇异局势.
性质三情况复杂,考虑所有情况:
情况1:a=b没问题,直接装换成(0,0).- -
情况2:a=ak,b>bk.那么必然可以通过同时减(b-bk)得到(ak,bk)
情况3:a=ak,b<bk.这里他说的有点概括,有一个前提是(a<b),这样,既然a=ak,又因为前面的项差k是按1递增的,所以这里隐含的k>b-a>0,所以差值必然是前面的项中所存在的,既然两个数的差值一定了,那么一定可以同减达到.
情况4:a>ak,b=bk=ak+k.前提是(a<b),这样就比较简单了,原本对于ax=ak的时候两者差值是k,现在a增加,b相对于原来不变,所以两者差值减小,必然可以通过同时减一个数达到前面的一个奇异局势.
情况5:a<ak,b=bk=ak+k.因为这时候前面的ak前面的所有数都出现过了,所以这样的ak无非有两种情况,第一种,ak=aj(j<k),这样,让bk达到bj即可;第二种,ak=bj(j<k),这样,(a,b)可以看成(bk,bj),那么让bk达到aj即可.
这样针对任何一个局势,只要这个局势是奇异的,那么先手者必然输.反之,后手者必然输.
最后,判断一个局势的奇异与否,有一个公式
ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数)
公式不知道怎么推出来的...