感知机模型

感知机是最早的人工智能算法，他是支持向量机和神经网络的基础。

它的基本思想是找到一条直线，将两类样本进行划分。其求解方法则类似与梯度下降法不断对w,b进行调整。

它的模型如下：

对每个训练样本（xi，yi），执行一下操作：

（i）若wx+b>0，且y=-1，则w=w-x，b=b-1；

（ii）若wx+b<0，且y=+1，则w=w+x，b=b+1；

其基本原理是

保证每次更新至少拉扯了1个单位。

可以证明，这种算法的结果是收敛的。

支持向量机（svm）

支持向量机在解决小样本问题时有着不错的结果，因为它划分空间仅仅依赖于最靠近超平面的支持向量。它的基本思想与感知机一样，都是通过找到一个超平面对空间进行划分，不同的是，感知机是对每个样本点不断进行迭代更新参数值，SVM则同时考虑所有的样本点，建立二次规划模型，并对模型进行求解。

（i）当y=1时，恒有wx+b>0

（ii）当y=-1时，恒有wx+b<0

即y*(wx+b)恒大于0.

那么如何构建这一需要求解的二次规划模型呢？首先要刚清楚两件事情。

1、wx+b=0 与 awx+ab=0是等价的，都表示同一超平面。

2、点到直线的距离公式

对于样本中的支持向量，我们可以用a去缩放(w,b)得到（aw，ab）,使得|wx+b|=1。

所以我们可以确定优化的目标是找到一个超平面，使两个类别的样本距离足够大，即两个类别的支持向量距离超平面最远。且根据之前要求的限制条件y*（wx+b）>0，得到一下优化模型：

对于此问题的求解问题涉及凸优化和运筹学相关内容，这里不再说（我也忘了）。

此外，这里和之前的感知机模型仅能解决线性可分的模型。

对于线性近似可分的情况，SVM模型可对优化模型增加惩罚项（松弛变量），且在限制条件中右侧改为进行求解。

对于线性不可分的情况，可以通过核函数的方法，将样本空间映射到高维空间中，在高维空间中则线性可分了。

多层神经网络

神经网络为解决感知机的线性问题，在网络层次中增加了非线性函数例如sigmoid等，且网络结构也更加复杂。

这里举两个例子可以很好的看到神经网络对样本进行划分的优势。

1、

 第一层每个神经元代表了一条直线，这里类似对三条直线采取交运算的方式构建神经网络模型。

当图中的三角形变成四边形或圆形可做类似推理。

2、

 这种某一类别散落了一部分出去，可以在之前的基础上，在下方再增加一个一样的模型。这种好像是解决了感知机异或问题的方式么，呜呜呜我也不太清楚了。

对模型的求解采用基于梯度下降的后向传播算法。

总结

感知机与SVM求解思想类似，都是找一个平面对空间中样本进行切割，但求解方式不一样，可以理解为感知机的求解方法较low，SVM有着丰富的数学基础，再其之上进行延申，进而找到了求解近似线性可分和不可分的求解方法。

神经网络在感知机的基础上，丰富了网络结构，增加了非线性函数，可以解决非线性问题和异或问题无法划分的情况。在求解方式上，二者较为相似，都是有点类似梯度下降的思想。

嗯嗯大概就这些，主要参考自浙大机器学习。