题目

https://www.luogu.org/problem/P1654

题意

给定每个位置为$1$的几率，一段长度为$x$的连续的并且极大的$1$对得分的贡献为$x^3$，求得分的期望。

题解

显然，我们可以换一种统计答案的方式，把贡献分给每个极长的前缀$1$，设在序列的第$i$个位置时，这个贡献为$val_i$。

当$i$前面有且仅有$x$个$1$时，$val_i=(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1$

答案式为$$\sum_{A}(\prod_{a_i=1}{p_i}\prod_{a_j=0}{(1-p_j)}\sum_{k=1}^{n}{val_k})$$

对于长度为$i-1$的某个序列$A_0$，假设它对答案的贡献$$\sum_{k=1}^{i-1}{val_k}=x$$

在其后再加一个$1$，对答案的贡献变为$p_i\sum_{k=1}^{i}{val_k}=p_i(x+val_i)$

在其后再加一个$0$，对答案的贡献变为$(1-p_i)\sum_{k=1}^{i}{val_k}=(1-p_i)x$

所以，对答案的总贡献为$p_i(x+val_i)+(1-p_i)x=x+p_ival_i$

直观的理解是这样，我们要求