引入集合以后

前言

为何引入

  • 对于高一的新生,往往不能理解为什么要引入这么抽象和晦涩的数学素材[集合],用以下的例子作以体会。

有了集合这种数学语言,数学内容可以表达的更加简洁和精确;

比如刻画不等式的解集;初中我们说,不等式\(x^2-3x+2\leqslant 0\)的解为\(1\leqslant\)\(x\)\(\leqslant\)\(2\),用集合语言写为:\(A\)\(=\)\(\{x\)\(\mid\)\(x^2\)\(-3x\)\(+\)\(2\)\(\leqslant\)\(0\}\)\(=\)\([1,2]\);

比如刻画方程的根;初中我们说,方程\(x^2-4=0\)的根为\(x=2\)或\(x=-2\),用集合语言写为:\(A\)\(=\)\(\{\)\(x\)\(\mid\)\(x^2\)\(-\)\(4\)\(=\)\(0\}\)\(=\)\(\{\)\(-2\)\(,\)\(2\)\(\}\);

再比如刻画函数的定义域和值域;\(A=\{x\mid y=x^2-3x+1\}\)表示函数\(y=x^2-3x+1\)的定义域,即不等式\(x^2\)\(-\)\(3x\)\(+1\)\(\leqslant\)\(0\) 的解集;而集合\(B\)\(=\)\(\{\)\(y\)\(\mid\)\(y\)\(=\)\(x^2\)\(-\)\(3x\)\(+\)\(1\}\)表示函数\(y\)\(=\)\(x^2\)\(-3x\)\(+1\)的值域;

再比如刻画曲线上的点集,集合\(C=\{(x,y)\mid y=x^2-3x+1\}\),表示二次函数曲线 \(y\)\(=\)\(x^2\)\(-\)\(3x\)\(+\)\(1\) 上的所有点构成的集合,虽然说抽象了许多,但更加简洁了许多;

引入以后

  • 当我们艰难的引入集合这个概念后,有些题目会有意识的使用集合语言来表述刻画,此时需要让学生理解集合语言的应用,并适应和主动使用集合语言来刻画数学素材。

比如,不等式的解集的给出方式

已知集合\(A=\{x\mid x^2-(a+1)x+a<0\}\),\(B=\{-4,-1\}\),\(B\subseteq A\),求\(a\)的取值范围;

$A.a\leqslant -4$ $B.a<-4$ $C.a\geqslant -2$ $D.a>-2$

分析:由于\(B\subseteq A\),故\(-4\in A\),\(-2\in A\),

则必然满足\(\left\{\begin{array}{l}{16+4(a+1)+a<0}\\{4+2(a+1)+a<0}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得\(a<-4\),故选\(B\).

方程的根的给出方式

已知集合\(A=\{x\mid x^2-3x+k=0\}\),\(2\in A\),求\(k\)的值;

分析:由于\(2\in A\),则\(x=2\)为方程的根,

则有\(2^2-3\times 2+k=0\),解得\(k=2\);

[自编]已知集合\(A=\{x\mid x^2-mx+k=0\}\),\(2\in A\)且\(1\in A\),求\(m\)和\(k\)的值;

分析:韦达定理,\(m=3\),\(k=2\);

[自编]已知集合\(A=\{x\mid x^2-3x+k=0\}\),且集合\(A\)的所有子集个数为\(2\)或者说成集合\(A\)为单元素集,或者说成集合\(A\)中只有一个元素,题目的结果都是一样的。\(\quad\),求\(k\)的值;

分析:集合\(A\)为单元素集合,故\(\Delta=0\),则有\(\Delta=(-3)^2-4\times 1\times k=0\),

解得,\(k=\cfrac{9}{4}\);

已知集合\(A=\{x\mid x^2-(a+1)x+a<0\}\),\(B=(-4,1)\),\(B=A\),求\(a\)的值;

分析:说明方程\(x^2-(a+1)x+a=0\)的两个根分别为\(x_1=-4\),\(x_2=1\),故可以利用韦达定理求参数的值;

则\(\left\{\begin{array}{l}{-4+1=a+1}\\{-4\times 1=a}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得\(a=-4\).

函数的定义域值域的给出方式

集合\(A=\{x\mid x^2-(a+1)x+a<0\}\),集合\(B=\{y\mid y=x^2+x+1\}\),求\(A\cap B\);

分析:容易化简得到\(B=\R\),而化简集合\(A\)时,需要针对\(a\)分类讨论如下:

当\(a=1\)

给出方式

  • 涉及不等式的解的给出方式
  • 直接给出:\(x=1\)是不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)的解,求\(a\)的范围。

  • 间接给出:\(A=\{x\mid x^2-2x+a\leq 0\}\),且\(\{1\}\subsetneqq A\),求\(a\)的范围。

  • 间接给出:当\(x=1\)时不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)是真命题,求\(a\)的范围;

    当\(x=1\)时不等式\(x^2-2x+a>0\)是假命题,求\(a\)的范围。

  • 隐晦给出:集合\(A=\{x\mid x^2-2x+a>0\}\),\(1\notin A\),求\(a\)的范围;

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