说起导数，高中物理必修一中学习的瞬时速度和它很是相像。
还记得瞬时速度的定义吗？
瞬时速度，是表示物体在某一时刻或经过某一位置时的速度，该时刻相邻的无限短时间内的位移与通过这段位移所用时间的比值。
瞬时速度是理想状态下的矢量，它和导数一样，都用到了极限的思想，考虑到比较简单，这里就不再赘述。
下面我们来具体看一下导数：
在 \(f(x) = \cfrac{x^{2}}{8}\) 这个函数上，有两点 \(x_1\) 和 \(x_2\) 它们分别对应着 两个函数值 \(f(x_1)\) 和 \(f(x_2)\)。
我们定义 \(\Delta{x}\) 为 \(x_1\) 到 \(x_2\) 的增量，即 \(\Delta{x} = x_2 - x_1\)，则：
\(\large \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{f(x_1+ \Delta{x}) - f(x_1)}{\Delta{x}}\)
我们就得到了从 \(x_1\) 到 \(x_2\) 函数值的平均变化率。
那么请思考，若 \(x_2\) 不断向 \(x_1\) 靠拢，使两点的距离趋近于 \(0\) 时，
我们是不是就得到了 \(x = x_1\) 时函数值的瞬时变化率，即：
\(f'(x_{1}) = \lim\limits_{\Delta{x} \to 0} \small{\cfrac{f(x_1+ \Delta{x}) - f(x_1)}{\Delta{x}}}\)
这个瞬时变化率被称作导函数，也叫导数，它的几何意义为函数 \(f(x)\) 在 \((x_1,f(x_1))\) 上的切线的斜率
若函数后加上了一个常数 \(k\) ，那么它的导数并不会发生改变，我们通过导数的几何意义来思考：
原函数加上了一个常数，它的图像只是在坐标系中上下平移，图像上任意一点上切线的斜率是不会改变的，所以这个函数的导数也不会变。
但是，在高中的导数学习中，上面的公式写起来过于麻烦，并不常用，所以我们有了这张常用函数求导公式表
| 原函数 | 导数 |
|---|---|
| \(f(x) = k\) | \(f'(x) = 0\) |
| \(f(x) = kx\) | \(f'(x) = k\) |
| \(f(x) = x^k\) | \(f'(x) = kx^{k-1}\) |
| \(f(x) = k^x\) | \(f'(x) = k^x\ln{k}\) |
| \(f(x) = \ln{x}\) | \(f'(x) = \frac{1}{x}\) |
| \(f(x) = \sin{x}\) | \(f'(x) = \cos{x}\) |
| \(f(x) = \cos{x}\) | \(f'(x) = -\sin{x}\) |
| \(f(x) = e^x\) | \(f'(x) = e^x\) |
| \(f(x) = \log_{a}{x}\) | \(f'(x) = \frac{1}{x\ln{a}}\) |
学会了一般函数的求导，下面我们来看看复合函数的求导。
形如 \(f(x) = \sin{2x}\) 这样的复合函数如何求导呐？
想要对复合函数求导，就要用到链式法则来解决，那么，链式法则是什么呢？
链式法则(\(chain \ rule\)): 一般地，对于函数 \(y = f(u)\) 和 \(u = g(x)\) 复合成的函数 \(y = f(g(x))\) ，它的导数为
回到上面的函数，原函数可化为函数 \(y = \sin{u}\) 和 \(u = 2x\) 的复合函数；
所以 \(y_x' = y_u' \cdot u_x' = \cos{u} \cdot 2 = 2\cos{2x}\)
下面再来练一道： \(y = (3x + 5)^3\)
解： 设 \(g = 3x + 5\) 则原函数可看作 \(g = 3x + 5\) 和 \(y = g^3\) 的复合函数
根据链式法则：\(y_{x}' = y_g' \cdot g_x' = 3 \times (3x + 5) ^ 2 \times 3 = 9(3x + 5)^2\)
和实数一样，导数也有自己的运算法则，下面给出导数四则运算的法则：
| 运算 | 法则 |
|---|---|
| 加法法则 | \([f(x)+g(x)]' = f(x)' + g(x)'\) |
| 减法法则 | \([f(x)-g(x)]' = f(x)' - g(x)'\) |
| 乘法法则 | \([f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) |
| 除法法则 | \(\small \left[\cfrac{f(x)}{g(x)}\right]' = \cfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\) |
这四条法则最好记住，想考场上自己推的你好勇阿。
至于证明，太麻烦了不想写。
下面我们练一练手：
定义 \(f(x) = \ln{x}\), \(g(x) = x^3\) ，求：
- \(\;\)(1) \(\; [f(x) + g(x)]'\) 的值
- \(\;\)(2) \(\; [f(x) \ \cdot\ g(x)]'\) 的值
(1)
解: \(\;[f(x) + g(x)]'\)
\(\;\;= f'(x) + g'(x) = (\ln{x})' + (x^3)' = \cfrac{1}{x} + 3x^2\)
(2)
解:\(\;[f(x) \cdot g(x)]'\)
\(\;\;= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)
\(\;\;= \cfrac{1}{x} \times x^3 + \ln{x} \cdot 3x^2\)
\(\;\;= x^2 + 3x^2\ln{x}\)