线性回归

令 z=wTx+bz = w^T x + bz=wTx+b，得到：

y=z+ϵ, ϵ∼N(0,σ2)y = z + \epsilon, \, \epsilon \sim N(0, \sigma^2)y=z+ϵ,ϵ∼N(0,σ2)

于是：

y∣x∼N(z,σ2)y|x \sim N(z, \sigma^2)y∣x∼N(z,σ2)

为啥是 $y|x$，因为判别模型的输出只能是 $y|x$。

它的概率密度函数：

fY∣X(y)=12πσexp⁡(−(y−z)22σ2)=Aexp⁡(−B(y−z)2), A,B>0f_{Y|X}(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp(\frac{-(y -z)^2}{2\sigma^2}) \\ = A \exp(-B (y - z)^2), \, A, B > 0fY∣X​(y)=2π​σ1​exp(2σ2−(y−z)2​)=Aexp(−B(y−z)2),A,B>0

计算损失函数：

L=−∑ilog⁡fY∣X(y(i))=−∑i(log⁡A−B(y(i)−z(i))2)=B∑i(y(i)−z(i))2+CL = -\sum_i \log f_{Y|X}(y^{(i)}) \\ = -\sum_i(\log A - B(y^{(i)} - z^{(i)})^2) \\ = B \sum_i(y^{(i)} - z^{(i)})^2 + CL=−∑i​logfY∣X​(y(i))=−∑i​(logA−B(y(i)−z(i))2)=B∑i​(y(i)−z(i))2+C

所以 $\min L$ 就相当于 min⁡(y(i)−z(i))2\min (y^{(i)} - z^{(i)})^2min(y(i)−z(i))2。结果和最小二乘是一样的。

逻辑回归

令 z=wTx+b,a=σ(z)z = w^T x + b, a = \sigma(z)z=wTx+b,a=σ(z)，我们观察到在假设中：

$$\begin{gathered} P(y=1|x)=a \\ P(y=0|x)=1-a \end{gathered}$$

也就是说：

$y|x\sim B(1,a)$

其实任何二分类器的输出都是伯努利分布。因为变量只能取两个值，加起来得一，所以只有一种分布。

它的概率质量函数（因为是离散分布，只有概率质量函数，不过无所谓）：

pY∣X(y)=ay(1−a)1−yp_{Y|X}(y) = a^y(1-a)^{1-y}pY∣X​(y)=ay(1−a)1−y

然后计算损失函数：

L=−∑ilog⁡pY∣X(y(i))=−∑i(y(i)log⁡a(i)+(1−y(i))log⁡(1−a(i)))L = -\sum_i \log p_{Y|X}(y^{(i)}) \\ = -\sum_i(y^{(i)} \log a^{(i)} + (1-y^{(i)})\log(1-a^{(i)}))L=−∑i​logpY∣X​(y(i))=−∑i​(y(i)loga(i)+(1−y(i))log(1−a(i)))

和交叉熵是一致的。

可以看出，在线性回归的场景下，MLE 等价于最小二乘，在逻辑回归的场景下，MLE 等价于交叉熵。但不一定 MLE 在所有模型中都是这样。